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固有値
Aをn×m行列とします。A^(転置)AとAA^(転置)が同じ0でない固有値を持つことの証明をお願いします。
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- reiman
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もっと明確化しよう 問題: Aをn×m行列としBをm×n行列としABが重複度kの0でない固有値uを持つとき BAは重複度kの固有値uを持つ. 解答概要: E':対角要素の(1,1)~(rank(A),rank(A))が1で残りの要素が全て0のn×m行列. P:Aの行変形用のn次正則行列. Q:Aの列変形用のm次正則行列. PAQ=E'となるようにPとQを定める. (PAQ)(Q^-1BP^-1)=E'(Q^-1BP^-1)とABの固有多項式は同じである. その固有多項式をf(x)とする. (Q^-1BP^-1)(PAQ)=(Q^-1BP^-1)E'とBAの固有多項式は同じである. その固有多項式をg(x)とする. (Q^-1BP^-1)の最初のrank(A)行の最初のrank(A)列で作られる rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とすると f(x)=h(x)x^(n-rank(A)) g(x)=h(x)x^(m-rank(A))
- reiman
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No.7の修正:E'の行列型の記述が抜けていた.No.6以下も同じ.ただ前後の脈絡から明白. 問題: Aをn×m行列としBをm×n行列としABが0でない固有値を持つとき BAは固有値としてその固有値を同じ重複度で持つ. 解答概要: E':対角要素(1,1)~対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0のn×m行列 P:Aの行変形用のn次正則行列 Q:Aの列変形用のm次正則行列 としPAQ=E'とする. (PAQ)(Q^-1BP^-1)=E'(Q^-1BP^-1)とABの固有多項式は同じである. その固有多項式をf(x)とする. (Q^-1BP^-1)(PAQ)=(Q^-1BP^-1)E'とBAの固有多項式は同じである. その固有多項式をg(x)とする. (Q^-1BP^-1)の最初のrank(A)行と最初のrank(A)列で作られる rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とすると f(x)=h(x)x^(n-rank(A)) g(x)=h(x)x^(m-rank(A))
- reiman
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最初に書いたように一般化した方が応用が効くのでそれを書く. 問題: Aをn×m行列としBをm×n行列としABが0でない固有値を持つとき BAは固有値としてその固有値を同じ重複度で持つ. 解答概要: E':対角要素(1,1)~対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0の行列 P:Aの行変形用のn次正則行列 Q:Aの列変形用のm次正則行列 としPAQ=E'とする. (PAQ)(Q^-1BP^-1)=E'(Q^-1BP^-1)とABの固有多項式は同じである. その固有多項式をf(x)とする. (Q^-1BP^-1)(PAQ)=(Q^-1BP^-1)E'とBAの固有多項式は同じである. その固有多項式をg(x)とする. (Q^-1BP^-1)の最初のrank(A)行と最初のrank(A)列で作られる rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とすると f(x)=h(x)x^(n-rank(A)) g(x)=h(x)x^(m-rank(A))
- reiman
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問題: Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。 解答概要: E':対角要素(1,1)~対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0の行列 P:Aの行変形用のn次正則行列 Q:Aの列変形用のm次正則行列 としPAQ=E'とする. (PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式は同じである. その固有多項式をf(x)とする. (Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式は同じである. その固有多項式をg(x)とする. (Q^-1A^tP^-1)の最初のrank(A)行とrank(A)列で作られる rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とする. すると f(x)=h(x)x^(n-rank(A)) g(x)=h(x)x^(m-rank(A)) こちらの方が分かり易いかな?
- reiman
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>m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x) >n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x) >がでるのが分かりません。 イメージすれば簡単に分るが具体例で示す. n=4,m=3,rank(A)=2とする. すると E'= (1 0 0) (0 1 0) (0 0 0) (0 0 0) となる. (Q^-1A^tP^-1)は3行4列になるので (Q^-1A^tP^-1)= (a b c d) (e f g h) (s t u v) とする. すると E'(Q^-1A^tP^-1)= (a b c d) (e f g h) (0 0 0 0) (0 0 0 0) となり (Q^-1A^tP^-1)E'= (a b 0) (e f 0) (s t 0) となる. よってI'を4次単位行列としI"を3次単位行列とすると f(x)=|xI'-E'(Q^-1A^tP^-1)|=(x^2-(a+f)x+af-be)x^2 g(x)=|xI"-(Q^-1A^tP^-1)E'|=(x^2-(a+f)x+af-be)x
- reiman
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不正確な表現の修正:基本変形という言葉は不適切なので使わない. 問題: Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。 解答概要: E':対角要素(1,1)~対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0の行列 P:Aの行変形用のn次正則行列 Q:Aの列変形用のm次正則行列 としPAQ=E'とする. (PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式は同じである. その固有多項式をf(x)とする. (Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式は同じである. その固有多項式をg(x)とする. m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x) n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)
補足
さっきのやつは分かりましたが、 最後 m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x) n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x) がでるのが分かりません。 お願いします
- reiman
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No.1とNo.2に書いた基本変形P,Qは正確な表現では無かった様です. P:PAとすることによりAに複数の行基本変形がなされる. Q:AQとすることによりAに複数の列基本変形がなされる. P,Qを基本変形と呼ぶのは言葉をいい加減に使ったことになります. 前後の流れから誤解は無いと思いますが 以上のことを念頭に適切な表現に改めてた方がよいでしょう.
- reiman
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書き間違い修正:n≦m⇒f(x)^(m-n)=g(x)をn≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)に Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。 に変更した方がいいでしょう. そうしないとAが零行列のときに問題が成立しない. 修正した問題ならば 行列Aの基本変形をして対角に(1,1)から(rank(A),rank(A))まで1となり 残りが0になる行列E'にすれば良い. 基本変形の正則行列をP,Qとして (PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じであり (Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式g(x)は同じであり m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x) n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x) 2行列x^(m-n)A,BについてABとBAが定義できるとき ABが0でない固有値を持つときBAはその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ. も同じようにして解ける.
補足
回答ありがとうございます。 (PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じ というのはなぜですか?
- reiman
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Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。 に変更した方がいいでしょう. そうしないとAが零行列のときに問題が成立しない. 修正した問題ならば 行列Aの基本変形をして対角に(1,1)から(rank(A),rank(A))まで1となり 残りが0になる行列E'にすれば良い. 基本変形の正則行列をP,Qとして (PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じであり (Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式g(x)は同じであり m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x) n≦m⇒f(x)^(m-n)=g(x) 2行列A,BについてABとBAが定義できるとき ABが0でない固有値を持つときBAはその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ. も同じようにして解ける.
お礼
ありがとうございます。考えてみます。