固有値

質問

mxn行列Aに対し
C=AA^T
(^Tは転置を表す)と置くと、
Cの固有値は必ず正であることを示せ。
また、成立しないのなら反例を示せ。

という問題なのですが、Cが2x2行列となる場合は、成立することが示せたので、そこから、帰納的に示せないかと思ったのですが、うまくいきそうにありません。
何か良い方法は無いでしょうか？

また、このことが成立するなら、一般的な対角行列に対しても同様のことが成立しているでしょうか？

回答No.2

sinisorsa · ベストアンサー

固有値をλとおく。対応する固有ベクトルをｘとする。
　Ｃｘ＝λｘ
両辺に左からｘの転置ｘ^Tを掛ける。
　ｘ^TＣｘ＝λｘ^Tｘ
　ｘ^TＣｘ＝ｘ^TＡＡ^Tｘ＝||Ａ^Tｘ||^2＝λｘ^Tｘ
よって
　λ＝｛||Ａ^Tｘ||^2｝／||ｘ||^2 ≧０
固有値が非負であることはいえますが正であることまでは
いえません。
たとえば、自明ですが、行列Ａを
|0, 0|
|0, 1|
とすると、Ｃの固有値は０と１です。
０に対する固有ベクトルは(1,0)^T
以上です。

お礼

なるほど。
あと、ちょっと聞きたいのですが、今回の場合に限らず、一般的に全ての固有値が0ではない行列(負の固有値も可)というと、どの様な行列になるのでしょうか？

回答No.5

Tacosan

普通, 「固有ベクトル」に 0ベクトルは含めません. 定義を確認してください.
なお, 「全ての固有値が 0 でない行列」は「行列式が 0 じゃない」ので当然に逆行列を持ちます.

お礼

そういえば、固有ベクトルの定義が0ベクトルでないとなっていましたね＾＾；

どうも有り難うございました。

回答No.4

arrysthmia

反例：

A =
　　[ i 0 ]
　　[ 0 i ]　　ただし i は虚数単位。

お礼

解答有り難うございます。
Aは実数行列としておくべきでしたね。

回答No.3

Tacosan

もっとシンプルに「零行列」を持ってくればいいのに＞#2.
ちなみに「すべての固有値が 0 でない行列」は (逆行列を持つので) 正則行列ですね.

お礼

なるほど。
それでちょっと調べてて思ったのですが、Aが固有値0を持つならAは正則でないということを、

Aが固有値0をもつ
⇔Ax=0xとなる固有ベクトルx_1が存在する．（0xの0はスカラーの0）
⇔連立方程式Ax=0は非自明解x_1をもつ(この場合右辺の0は0ベクトル）
⇔Aは正則でない．
対偶をとって，
Aは正則⇔Aは固有値0をもたない．

と証明されていたのですが、特定の固有値に対応する固有ベクトルは0ベクトルとはならないといえるか、という疑問が出てきました。
これは言えるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

おかしいなぁ, 「固有値は必ず正」とはならないような気がするんだけど....
「Cが2x2行列となる場合」にどのように証明したのか, 見せてもらえますか?

お礼

すみません、私の証明も0以上であると言うことを示しているだけでした。