固有値 行列

質問

｜3　2｜
｜2　6｜
　この行列をＡ＝Ｐ’Ｐ（転置です。）の形に書くにはどうすればいいのかわかりません。Ｐは正方行列です。

これは直交行列と関係あるのでしょうか？？
ちなみに固有値はλ1が７でλ2が2です。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

＞上記の行列は、Λ＝Ｃ'ＡＣのＣを求めたに過ぎません。
　その通りなんですが、ここまで来れたなら、答えはもう目前です。

　とりあえず、Ａ＝の形が欲しいので、Ｃ'とＣを移項します。このときＣが直交行列で、Ｃ'＝Ｃ^(-1)に注意すると、

　　Ａ＝ＣΛＣ'　　(1)

となります。一歩前進と思えませんか？。問題はΛですが、これは対角行列で、もちろん対称行列です。ここでちょっとずるく考えます。
　対称行列ＡにＡ＝Ｐ'Ｐの形が必ず存在するならば（と問題には、書いてありませんが）、Λにも同じ形、Λ＝Ｑ'Ｑが存在するはずです。これを(1)に代入すれば、

　　Ａ＝ＣＱ'ＱＣ'＝(ＣＱ')(ＱＣ')＝(ＱＣ')’(ＱＣ')＝Ｐ'Ｐ

が得られます。よって、Λ＝Ｑ'ＱのＱを定めれば良い事になりますが、Λは対角行列なので、何か「とても簡単そうな」雰囲気は漂いませんか？。
　#1さんの最初の方針に従い、
　　Ｑ＝｜a　b｜
　　　　　｜c　d｜
とおいて成分計算しても、大した計算ではないのですがそれよりも、次の形は慣れてくれば、一瞬で気づけます。
　　Λ＝｜7　0｜＝｜√7　0｜｜√7　0｜＝ＱＱ＝Ｑ'Ｑ
　　　　　｜0　2｜　　｜0　√2｜｜0　√2｜

　以上は、#1さんの2番目の方針に沿ったものと思います。最後のＬＤＵ分解は、次数の大きなＡについては、固有ベクトルを求める負担が大きくなるので、数値計算で掃きだし法に代替わりさせた時に、現れます（つまり実用向きです）。Ｄ＝Λとなり、後は同じです。掃きだし法，行列の基本変形，基本変形行列に関連させて調べる事をお奨めしますが、本質は2番目と同じです。この時も、Ａが対称である事が、決定打になります。

お礼

ddtddtddt様

おはようございます＾

迅速かつ的確で丁寧な回答に誠に感謝しております。

＞対称行列ＡにＡ＝Ｐ'Ｐの形が必ず存在するならば（と問題には、書いてありませんが）、Λにも同じ形、Λ＝Ｑ'Ｑが存在するはずです。

なるほど、このように考えるのは思いつきませんでした。
独学でかなり勉強されたんでしょうね。私も見習わなければ＾

今回はアドバイスありがとうございました＾
今後も機会がありましたらよろしくお願いいたします！

回答No.2

noname#221368

じつは前回削除される直後に返答しようとして、「削除されました」という知らせを受け取ったので、再びお会いできて良かったです。
　管理者様の方針もわかりますし、#1さんの気持ち（敢えて省略して書いていると思います）もわかりますが、自分は独学して来た身なので、わかってしまえば馬鹿みたいな事でも、最初は手掛かりすら無い状態はあり得ると思っています。それに今回の質問文を読むと、前回の状態から相当苦労して、色々調べたのかな？、と自分には思えます。
　なので私は、少し詳しく書きます。言ってる事は、#1さんと同じです（同じだと思えるように、なって下さい）。

　次の事を使います。
　　(1)行列Ａが対称なら、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
　　(2)行列Ａが対称なら、例えば固有値λの重複度が2である場合、Ａはλに属する次元2の固有空間を持つ。
　　(3)従って、その固有空間内ではやはり、互いに直交する固有ベクトルを選択できる。
　　(4)　(1)，(2)を合わせると、対称行列は必ず、正規直交基底となる固有ベクトル基底を持つ。
　　(5)Ａがその次数に等しい固有ベクトル基底を持てば、必ず対角化できる。逆に対角化可能なら、Ａはそのような固有ベクトル基底を持つ。
　　(6)　(5)が成り立つ場合、固有ベクトル基底を縦ベクトルとして持つ行列をＳとすれば、Ｓ^(-1)・Ａ・Ｓ＝Ｄ(λ1，λ2，・・・)となる。ここでＤは対角行列を表し、λ1，λ2，・・・は、Ａの固有値。「^(-1)」は逆行列を表す。
　　(7)直交行列Ｑに関しては、Ｑ^(-1)＝Ｑ^T。ここで「^T」は転置を表す。

　以上(1)～(7)を見渡して、「正規直交基底を中身に持つ行列って、直交行列だよな」って気づけば、後は「やりゃ～出来る」範囲に納まると思います。でも「つまずいたら」、ご連絡下さい。

補足

ご丁寧な回答に感謝いたします。はたまた気を遣っていただいて大変恐縮です。

実はこれから書くことはピントがズレた質問なのかもしれません。
なにぶん最近線形代数を勉強し始めたものでいまいちコツのようなものがつかめずで・・・
それはそうとして、実は
Ａ＝｜3　2｜
　　｜2　6｜
を対角化する行列は　1/√5｜1　 2｜
　　　　　　　　　　　　 ｜2　-1｜
で一応求められました。

上記の行列は、Λ＝Ｃ'ＡＣのＣを求めたに過ぎません。

Ａ＝｜3　2｜
　　｜2　6｜
　この行列をＡ＝Ｐ’Ｐ（転置です。）の形に書け。という問題のＰは
上記のＣではないですよね？？

要するに
｜a b｜×｜a c｜＝Ａとなる行列Ｐはどのように求めればいいのか・・
｜c d｜　｜b d｜
アドバイスをいただけたら幸いです。

回答No.1

Tacosan

まずあたりまえな方法として, P を (4個の) 変数で表せばできます. というか, できて当然.
次に, 直交行列は「転置=逆行列」を満たすということから, 「適当な直交行列で対角化」という方針もたちます.
さらに, 対称行列を LDU 分解すると L と U が転置の関係になるということも使えますがこれは 2つ目と類似かな.

お礼

アドバイスありがとうございます＾＾