固有値と対角化について

質問

固有方程式より固有値を求めたとき、もし固有値λが重根であった場合は、それぞれの固有ベクトルを求めて、その結果、n次の行列であったとすると、n個の一次独立な固有ベクトルがあれば対角化は出来ると思います。

では、異なる固有値が出てきた場合はどうなるのでしょうか？
調べてみると、必ず対角化できるみたいなのですが、証明がわかりません。

λが異なったとしても、求めた固有ベクトルが互いに線形従属であった場合は対角化できないはずです。
ということは、異なる固有値が出ても、それぞれの固有ベクトルは決して従属にはならない、必ず独立になるということになりますよね？

これはどうやれば証明できますか？

よろしくお願いします。

回答No.2

yskfr · ベストアンサー

異なる固有値に対応する固有ベクトルは一次独立です。

てきとうにAとかいう行列について考えましょう。
λ_1、λ_2、・・・λ_k を互いに相異なる固有値としてx_1、x_2、・・・x_kをそれに対応する固有ベクトルとします。
いま、x_1、x_2、・・・x_kが線形従属だったとして矛盾させます。
そうするとなんか適当なx_iを選んできて残りのベクトルが一次独立だったと思いましょう。（一般性を保ちたければ線形独立なベクトルの組を選んできてそこに含まれてない適当なベクトルを一個選んでくればいいのかな？）

そうするとx_i以外のベクトルの線形結合でx_iが表せます。

x_i＝c_1 x_1+c_2 x_2+・・・+c_(i-1) x_(i-1)+c_(i+1) x_(i+1)+・・・+c_k x_k
この両辺にAをかけてみると
(左辺)
=Ax_i
=λ_i x_i
=c_1 λ_i x_1+c_2 λ_i x_2＋・・・

(右辺)
=c_1 Ax_1+c_2 Ax_2+・・・+c_(i-1) Ax_(i-1)+c_(i+1) Ax_(i+1)+・・・+c_k Ax_k
=c_1 λ_1 x_1+c_2 λ_2 x_2＋・・・

という感じになります。

左辺を右辺に移項すれば
0=c_1(λ_1-λ_i) x_1+c_2(λ_2-λ_i) x_2+・・・
となる．仮定からx_i以外は線形独立なので、
c_j(λ_j-λ_i)＝0 ,　j∈{{1,2,・・・,k}＼{i}}
ここで，λ_i≠λ_jより，
c_j＝0となる。このとき，x_i＝0 となり矛盾。

こんな感じでいかがですか？ちょっといい加減ですが方針はこういう感じで良いかと思います。

回答No.1

Tacosan

それは固有値とか固有ベクトルの最初に証明していそうな気がするんだけど....
A の異なる固有値に属する固有ベクトルが線形従属であると仮定して, A を掛けてみればわかる, かな.