フーリエ変換に関する質問です。

質問

∫-∞~∞ F(ω) F*(ω)dω=∫-∞~∞f(x) f*(x)dx
(*は複素共役を意味しています。)フーリエ変換に関する質問です。
はどのように証明できますか。

回答No.1

reiman · ベストアンサー

2πの係数が煩わしいので角周波数ωでなく周波数fを使う
そのため関数fはやめて関数gを使う
gは通常実数値関数である！
G(f)=∫[x∈R]g(x)exp(-j2πfx)dx
G^*(f)=∫[y∈R]g(y)exp(j2πfy)dy
より
∫[f∈R]G(f)G^*(f)df
=∫∫∫[(x,y,z)∈R^3]g(x)g(y)exp(j2πf(y-x))dxdydf
=∫∫[(x,y)∈R^2]g(x)g(y)∫[f∈R]exp(j2πf(y-x))dfdxdy
=∫∫[(x,y)∈R^2]g(x)g(y)δ(y-x)dxdy
=∫[x∈R]g(x)∫[y∈R]g(y)δ(y-x)dydx
=∫[x∈R]g(x)g(x)dx

お礼

ありがとうございました。