フーリエ変換

質問

さっそく質問なんですが。

f(x)=0 (-∞<x<-1 )
1 (-1<=x<0 )
-1 ( 0<=x<1 )
0 ( 1<=x<∞ )
この関数のフーリエ変換を求める問題なんですが。

僕は
フーリエ変換 =
1/(√2π)∫[-1～0]e^(-jux)dx-1/(√2π)∫[0～1]e^(-jux)dx

※[　]は積分範囲
とやって解いたんですが。
答えが (1/j)*√(2/π)*{(cos(u)-1}/u　になってしまいました。

解答を見ると √(2/π)*{(cos(u)-1}/u となっていて(1/j)が余分な結果なりました。
どうして合わないのか教えてください。

非常にわかりにくい式ですいません。

回答No.2

info22

＞計算自体はあっているんですね…、じゃぁこのフーリエ変換自体が違うですか？？

計算は合っています。
フーリエ変換自体も合っています。（参考URL）
お使いのフーリエ変換の式は角周波数表記の定義ですね。

解答が間違っているということです。

G(u)=(j/u)√(2/π){1-cos(u)}
が正解です。

j=e^j(π/2)は位相を(π/2)を進める項です。
位相を無視すれば、つまり絶対値（振幅スペクトル）を取れば
|G(u)|=(1/|u|) √(2/π){1-cos(u)}
となりますね。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

お礼

説明ありがとうございます。

解答だと
これは奇関数なので、フーリエ正弦変換により
F(u) = √(2/π)∫[0～∞] f(t)cos ut dt
= -√(2/π)∫[0～1] sin ut dt
= √(2/π)*{(cos(u)-1}/u

となっています。
このフーリエ正弦変換っていうのが、謎で…。
これも間違ってるってことですか？

回答No.1

info22

{1/(√2π)}∫[-1～0]e^(-jux)dx-{1/(√2π)}∫[0～1]e^(-jux)dx
=-{1/(√2π)}(1/ju)e^(-jux)[-1～0]
+{1/(√2π)}(1/ju)e^(-jux)[0～1]
={1/(√2π)}(1/ju)e^(ju)
-{1/(√2π)}(1/ju)
+{1/(√2π)}(1/ju)e^(-ju)
-{1/(√2π)}(1/ju)
=-{1/(√2π)}(2j/u){e^(ju)+e^(-ju)}/2+{2j/(√2π)}(1/u)
=-{1/(√2π)}(2j/u)cos(u)+{1/(√2π)}(2j/u)
={1/(√2π)}(2j/u){1-cos(u)}
=(1/j)(√(2/π){cos(u)-1}/u

お礼

回答ありがとうございます。
計算自体はあっているんですね…、じゃぁこのフーリエ変換自体が違うですか？？