フーリエ変換

質問

2つの問題があります。
もし、解法がお分かりの方がいらっしゃいましたら、ご教授ください。

フーリエ変換は、次のように表す。
F(u)=∫(-∞→∞) f(x)e^(-i2πux) dx

(1)f(x)をcだけ推移させた関数f(x-c)のフーリエ変換を求めなさい。
(2)f(x)=ae^(-bx^2)のフーリエ変換を求め、(1)の答えをふまえて、f(x)=ae^(-b(x-c)^2)のフーリエ変換を求めよ。ただし、∫(-∞→∞) e^(-x^2) = √π とする。

-----自分での解答-----
(1)F(u)=∫(-∞→∞) f(x-c)e^(-i2πu(x-c)) dx
このような解答でよろしいのでしょうか？

(2)F(u)=∫(-∞→∞) ae^(-bx^2) e^(-i2πux) dx
←中略→
F(u)=((a√π)/√b)*e^((-π^2*y^2)/b)

とのあと、どのように計算していいのか分かりません。

回答No.2

ion12wat · ベストアンサー

(1)についてです。

フーリエ変換が以下のように表されるとき、
F(u)=∫(-∞→∞)f(x)e^(-i2πux)dx

f(x-c)のフーリエ変換は次のように表されます。

F1(u)=∫(-∞→∞)f(x-c)e^(-i2πux)dx

したがって、t=x-cとして置換積分をしましょう。

すると、
F1(u)=e^(-2πcu)∫(-∞→∞)f(t)e^(-i2πux)dt
=e^(-2πcu)F(u)

以上のように、f(x)をcだけ平行移動したときの
フーリエ変換は、F(u)を用いてあらわすことができます。

お礼

ご丁寧に回答を頂き、ありがとういございました。

助かりました。

回答No.1

guuman

F(u)=∫(-∞→∞)dx・f(x)・e^(-i・2・π・u・x)
Fc(u)=∫(-∞→∞)dx・f(x-c)・e^(-i・2・π・u・x)

Fc(u)をF(u)であらわすだけ
置換積分すればサルでもわかるはず

お礼

置換積分を使うってのが、ひらめきませんでした。

ありがとうございました。