高校数学の問題です。手掛かりが・・・

質問

座標平面において，直線 y=3-x のx軸，y軸との交点をそれぞれA, B とする。

またx軸上の点C(1,0) y軸上の点D(0,2)と線分AB上を動く点Pがある。

点Pは実数の変数 t を用いて，　（3-3t, 3t）　（0≦t≦1)　と表すことができ，

∠CPD が最大となるときの t の値を求めよ。

少し問題文を変えていて不自然な表現かもしれませんが，だいたいこのような感じです。

ベクトルの内積で解くのか，傾きを tan として考えるのか，幾何的に解くのか手掛かりがつかめません。
申し訳ありませんが，ヒントだけでも宜しくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトルを↑として
↑C=(1,0)、↑D=(0,2)、↑P=(3-3t,3t)、
↑PC=↑C-↑P=(-2+3t,-3t)
↑PD=↑D-↑P=(-3+3t,2-3t)
↑PC・↑PD=(-2+3t)*(-3+3t)+(-3t)*(2-3t)=18t^2-21t+6
=|↑PC|*|↑PD|cos∠CPD
|↑PC×↑PD|=|(-2+3t)*(2-3t)-(-3t)*(-3+3t)|=|3t-4|
=|↑PC|*|↑PD|sin∠CPD、0≦t≦1だから|3t-4|=4-3t
cot∠CPD=cos∠CPD/sin∠CPD=(18t^2-21t+6)/(4-3t)=f(t)として
f(t)が最小となるtを求める。
f'(t)={(36t-21)*(4-3t)-(18t^2-21t+6)*(-3)}/(4-3t)^2
=-6(9t^2-24t+11)/(4-3t)^2、9t^2-24t+11=0の解はt=(4±√5)/3、
だからf'(t)=-6{t-(4-√5)/3}{t-(4+√5)/3}/(4-3t)^2、
0≦t≦1で分母(4-3t)^2＞0だからf'(t)は0＜t＜(4-√5)/3で負、
t=(4-√5)/3でf'(t)=0、(4-√5)/3＜t≦1＜(4+√5)/3でf'(t)＞0
となるので、f(t)は0＜t＜(4-√5)/3で減少、t=(4-√5)/3で
極小、(4-√5)/3＜t≦1で増加するので、0≦t≦1でf(t)が最小
となるのはt=(4-√5)/3のときであり、cot∠CPDが最小になるので
∠CPDは最大となり、求めるtは(4-√5)/3・・・答

回答No.2

info22_

>ベクトルの内積で解くのか，傾きを tan として考えるのか，幾何的に解くのか手掛かりがつかめません。

内積で解く方法、幾何学的になら△PCDに余弦定理を適用して解く方法のどちらでも解けます。
いずれにしても微分法を使って関数の増減を調べて∠CPD の最大値（cos∠CPD の最小値）を求めることになります。

なお、傾きとしてtanを使う方法はtan(π/2)=±∞の所が含まれ場合分けなどの処理の煩雑さから言っておすすめではないです。

C,P,Dの座標が与えられているので、ベクトルPC↑とPD↑の内積PC↑・PD↑を使えば
　cos∠CPD=(PC↑・PD↑)/(PC*PD)
が計算できます。
あるいは
幾何学的には△CPDを考え∠CPDに余弦定理を適用すれば
　cos∠CPD=(PC^2+PD^2-CD^2)/(2PC*PD)
が計算できます。
どちらの方法からでも
cos∠CPD
=(1/√2)(18t^2-21t+6)/{√(9t^2-6t+2)*(18t^2-30t+13)}
　…(1)
となります。
このcos∠CPDはt(0≦t≦1)の関数となるからf(t)とおくと
f(t)=(1/√2)(18t^2-21t+6)
　/{√(9t^2-6t+2)*(18t^2-30t+13)} (0≦t≦1) …(2)
ここで、分母の√の中の２次式はPC^2,CD^2に由来するので勿論、正値をとることは言うまでもありません。
　(9t^2-6t+2)=(3t-1)^2+1>0
　(18t^2-30t+13)=2(3t-(5/2))^2+(1/2)>0
cos∠CPD=f(t)(0≦t≦1)なので、点Pが線分AB上を動く範囲かや点C,Dの位置関係から
　-1<f(t)<1 …(3)
となります。
f(t)の分子の
　g(t)=(18t^2-21t+6)=3(2t-1)(3t-2)(0≦t≦1) …(4)
は
1/2<t<2/3 …(5)
のとき　g(t)<0となります。
g(t)<0となる(5)の範囲で
f(t)=cos∠CPD<0となるから
cos∠CPDは鈍角となり、最小値をとる。
cos∠CPDは0≦∠CPD≦πで∠CPDの単調減少関数であるから
cos∠CPD(=f(t))が最小値をとるとき∠CPDは最大値をとります。

従って、(5)のtの範囲でf(t)の最小値を求めればよい。

f'(t)=(3/√2)(3t-4)(9t^2-24t+11)
/((9t^2-6t+2)(18t^2-30t+13))^(3/2) (1/2<t<2/3) ...(6)
で
分母>0なのでf'(t)の符号の変化は分子の符号の変化と一致する。分子について
(3t-4)(9t^2-24t+11)
=27(t-((4-√5)/3))(t-(4/3))(t-((4+√5)/3))
で
1/2<(4-√5)/3<2/3<4/3<4+√5)/3より
1/2<t<2/3では(t-(4/3))(t-((4+√5)/3))＞0
従って
1/2<t<(4-√5)/3のとき　f'(t)<0, f(t)は減少
(4-√5)/3<t<2/3のとき　f(t)>0, f(t)は増加
するので
t=(4-√5)/3 …(7)のとき
f(t）(=cos∠CPD)は
最小値f((4-√5)/3)=-(1/6)(√10-2√2)(<0) …(8)
をとり、
∠CPDは
最大値=cos^-1 {-(1/6)(√10-2√2)}
=π-cos^-1 {(1/6)(√10-2√2)} [rad]
(≒93.19[度])
をとる。

(7)のtが答えになります。

お礼

解答まで明記していただき，ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

∠CPD が最大ってことは、cos∠CPD が最小ってことです。
内積 PC・PD を使って、cos∠CPD を t の式で表し、
最小値を与える t を計算してみては、どうですか？

お礼

ありがとうございます。確認してみます。