メジアン43番についてーー至急解答をお願いします

質問

メジアン43番についてーー至急解答をお願いします

座標平面上に４点O(0,0) A(1,0) B(1,t) C(0,t)がある。
直線y=2x と線分BCの交点をP,　
Pを通る傾き-2の直線と線分ABの交点をQ
Qを通る傾き2の直線とx軸との交点をRとする。
四角形OPQRの面積の最大値とそのときのtの値を求めよ。

明日までに解かなければならないので、どうか解説をお願いします。

回答No.1

muturajcp

O(0,0)
A(1,0)
B(1,t)
C(0,t)
直線y=2xと線分BCの交点をPとすると
y=2x=y=t
x=t/2
P=(t/2,t)
|OC|=t
|CP|=t/2
|△OPC|=|OC||CP|/2=t^2/4
Pを通る傾き-2の直線と線分ABの交点をQとすると
y-t=(-2)(x-t/2)
x=1
y-t=(-2)(1-t/2)=t-2
y=2t-2
Q=(1,2t-2)
|PB|=|1-t/2|
|BQ|=|2-t|
|△PBQ|=|PB||BQ|/2=|1-t/2||2-t|/2=(2-t)^2/4
Qを通る傾き2の直線とx軸との交点をRとすると
y-2t+2=2(x-1)
y=0
2-2t=2(x-1)
1-t=x-1
x=2-t
R=(2-t,0)
|AQ|=|2t-2|
|AR|=|t-1|
|△AQR|=|AQ||AR|/2=|2t-2||t-1|/2=(t-1)^2

|□OPQR|
=|□OABC|-|△OPC|-|△PBQ|-|△AQR|
=t-t^2/4-(2-t)^2/4-(t-1)^2
=t-t^2/4-t^2/4+t-1-t^2+2t-1
=-3t^2/2+4t-2
=(2/3)-(3/2){t-(4/3)}^2
≦2/3

∴□OPQRの面積の最大値は
2/3
でそのときt=4/3である