中２数学・一次関数の問題

質問

添付しました図のように、２直線y＝－ｘ＋10、ｙ＝2x＋10があり、３点A、B、Cは直線と座標軸との交点である。点Pは線分AC上をAからCまで、点Qは線分CB上をCからBまで動く。２点P、Gは同時出発してから、それぞれ一定の速さで動き、５秒後に同時にC、Bに到着する。（次の問いに答えなさい。）

(1)出発してからｓ秒後に、線分PQの中点がｙ軸上にくる。このとき、ｓの値を求めなさい

(2)傾きがmとnの２直線が垂直に交わる時、mn＝－1である。このことを利用してPQとBCが垂直になるのは、出発してから何秒後か求めなさい。

この問題の「解き方」と「解答」をわかりやすく教えていただけないでしょうか？

☆よろしくお願い申し上げます。☆

回答No.3

noname#227255 · ベストアンサー

(1)
点Aのx座標は、点Aが直線：y=2x+10とx軸の交点であるから、
2x+10=0→x=-5
これから、AO=|-5|=5
よって、点Pは、x軸方向に毎秒+5/5=+1ずつ進むので、
s秒後の点Pとy軸の距離は、5-s－(a)
また、点Bのx座標は、点Bが直線：y=-x+10とx軸の交点であるから、
-x+10=0→x=10
これから、BO=10
よって、点Qは、x軸方向に毎秒+10/5=+2ずつ進むので、
s秒後の点Qとy軸の距離は、2s－(b)
出発してからｓ秒後に、線分PQの中点がy軸上にくるので、
(a)=(b)となるから、5-s=2s→s=5/3（秒後）

(2)
点(a,b)を通り、傾きkの直線は、y=k(x-a)+bの形で表されます。
点Cのy座標は、点Cが直線：y=2x+10とy軸の交点であるから、
y=2*0+10=10
これから、CO=10
よって、点Pはy軸方向に毎秒+10/5=+2ずつ進むので、
s秒後の点Pの座標は(-(5-s),2s)
また、BCの傾きは-1であるから、PQの傾きは1
よって、s秒後の点P(-(5-s),2s)を通り、傾き1の直線は、
y=x+5-s+2s=x+s+5
これと、直線：y=-x+10の交点のx座標は、
x+s+5=-x+10から、x=(5-s)/2
これが、点Qのx座標に一致するので、
(5-s)/2=2s→s=1（秒後）
なお、この解法では、点Qのy座標を必要としません。

回答No.2

KEIS050162

点Q,Pの座標を時間sの関数で表して、１）、２）の問いの条件にあった式を組み立てて、sの一次方程式として解くと良いかと思います。

点Qのx,y座標をQx,Qyとし、これを時間sで表す。但し（0≦s≦5）
Qx = 2s
Qy = 10 - 2s
同様に、点Pのx,y座標をPx,Pyとしてsで表す。
Px = -5 + s
Py = 2s

1) MがPQの中点
単純に、y軸からPx、Qxの距離が同じになる時間を求める。
0 - Px = Qx - 0
0 - (-5+s) = 2s - 0
-3s+5 = 0
s = 3/5

2) PQ と BCが直行
BCの傾きは-1と分かっているので、PQの傾きが1となる、sを求める。

PQの傾きは、
(Qy - Py) / (Qx - Px)
なので、これが1となるsの方程式を解く。

{(10-2s) - 2s } / {2s - (-5-s)} = 1
(10-4s) / (s+5) = 1
10 - 4s = s+5
-5s = -5
s = 1

お礼

KEIS050162様

ご回答いただき、ありがとうございます。

回答No.1

yuta_math

P,Qが同時に出発してから経過した時間をtとします。

STEP1.t秒後の点P,Qの座標を求めます。

Pについて、
A(-5,0)を出発したPは5秒後、C(0,10)にいます。一定の速さで進むことから、x軸方向にもy軸方向にも一定の速さで進むので、1秒で進む分は、
x軸方向に、(0-(-5))/5=1
y軸方向に、(10-0)/5=2
よってt秒間に、
x軸方向にt
y軸方向に2t
進みます。
よって、t秒後にPの座標は、
P(-5+t,2t)

同様にQについて、
C(0,10)を出発したQは、5秒後B(10,0)にいるので、t秒間に、
x軸方向に2t
y軸方向に-2t
進みます。
よって、t秒後のQの座標は、
Q(2t,10-2t)

STEP2.PQの中点の座標を求めます。

中点の座標は、
((Pのx座標+Qのx座標)/2,(Pのy座標+Qのy座標)/2)で求められるので、
((-5+3t)/2,5)

STEP3:(1)を解く

t=sのとき、
中点がy軸上、すなわちx座標が0なので、
(-5+3t)/2=0
t=5/3

STEP4:(2)を解きます。
直線BCと直線PQが垂直となるtを求めます。

直線BCの傾きをm、直線PQの傾きをnとします。

直線BCの傾きmはy=-x+10のxの係数であるからm=-1

直線PQの傾きnは、
P(-5+t,2t)、Q(2t,10-2t)
xが5+t増えると、yは10-4t増えるので、
変化の割合(傾き)は、(10-4t)/(5+t)
n=(10-4t)/(5+t)

直線BCとPQは垂直なので、
mn=-1
すなわち、
(-1)×(10-4t)/(5+t)=-1
(10-4t)/(5+t)=1
10-4t=5+t
5t=5
t=1

よって1秒後です。