tan(α-β)を使う問題

質問

曲線C：y=x＾2　直線l：y=x-3/4があり、直線l上に点Pをとり、点Pは(k,k-3/4)となる。
点Pから曲線Cにひいた2本の接線のなす角がπ/3の時、kの値を求めよ
接線の式を出すと、s=k-√(k＾2-ｋ+3/4) t=k+√(k＾2-k+3/4)
とすると、y=2sx-s＾2…(1)　y=2tx-t＾2…(2)
２接線の交点を通り、x軸に平行な直線をmとする。
mと(1)、(2)がなす角をそれぞれα、βとすると、
tan(α-β)＝tan(π/3)　この式をとけば正解でしょうか？
それともtan(α-β)＝tan(2π/3) を解くんでしょうか？
どっちを使うか解説お願いします！
ちなみにtan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)となりました。

回答No.9

tarame · ベストアンサー

No.4です。訂正します。
tan(α－β)＝2(s-t)/(1+4st)＝{2√(k＾2-k+3/4)}/(2k-1)でした。
この問題は、解と係数の関係を使うべきです。
接点のｘ座標は　ｘ^2－2kｘ＋k-3/4＝0の解です。
その解をｓ,ｔとすると、接線の傾きは　2s，2t となります。
tanα＝2s，tanβ＝2t とすると
|α－β|＝π/3 または　|α－β|＝2π/3 となればよいわけです。
2π/3＝π－π/3 であることから、tan(2π/3)＝－tan(π/3)であるので
｜tan(α－β)｜＝tan(π/3) を解けばよいことになります。
この段階で、ｓとｔ、αとβの大小関係は気にしなくてもよいことになります。

回答No.11

kumipapa

#5,6です。またまたごめんなさい。間違い訂正します。
＞　#5です。ごめんなさい、間違い訂正します。
＞＞　tan(α-β)＝2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )＝2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
＞　は
＞　tan(α-β)＝2 ( t - s ) / ( 1 - 4st )＝2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
＞　です。
は、
tan(α-β)＝2 ( t - s ) / ( 1 + 4st )＝2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
でした。本当にオバカ。

回答No.10

kkkk2222

ANo.7 です。

怪しいとは思っていましたが、
やはり、間違っていました。
±が必要でした。

＃１では、

　±(2k-1)√3=√{4(k^2)-4k+3)}

＃２では、

　±√3=2|s-t)|/(1+4st)
　±(1+4st)√3=2√{((s+t)^2)-4st}

　±(1+(4k-3))√3=2√{4(k^2)-(4k-3)}
　±(2k-1)√3=√{4(k^2)-(4k-3)}

回答No.8

ka1234

こんにちは。

座標平面上で角度を扱う場合、

(1)tanα傾き派　　(2)cosα内積派

の２つの方針が考えられます。（新数学演習（東京出版）より）

通常、内積よりも傾きの方が「計算が楽」であるが「場合分けが面倒」
と言われています。

質問者さまは「傾き」に関する質問をお求めですが、
「内積」についての別解をやってみます。
記号は同じにしておきます。

[別解]
y'=2x より、２つの接ベクトルは、
(1, 2s), (1, 2t) となるから、

これらの内積を考えて、
(1, 2s)・(1, 2t)＝|(1, 2s)||(1, 2t)|cos60 (またはcos120)

両辺を２乗すると、
4(1+4st)^2＝(1+4s^2)(1+4t^2)

s+t=2k, st=k-(3/4) を代入して整理すると（→※）、
32k^2-32k=0 となるので、

（答え） k=0, 1

※　この２つの関係式を導くのに、計算はしていません。
　　「放物線の２接線の交点の公式」を使っています。

回答No.7

kkkk2222

＞＞π/4<β<π/2<α<5π/4
既に解説済みですが手元の図を仔細に眺めて見れば、
意味が判るのでは・・・。
されど、この事は問題を解くに関して、関係がないと思います。

これは、貴殿が６０度に限定したことから始まっています。

　問題文に書かれている条件からは、
　１２０度を除く事は読み取れません。
ベクトルならまだしも、
二直線のなす角は２つあるのが基本です。
もちろん、文脈によっては片方に限定される場合もあります。

６０度と１２０度のふたつを算出する方法としては、
＜場合分け＞と＜式の条件を緩める＞があります。
わかり難い時は、場合分け。
面倒な時は、条件を緩める。

また、
×　tan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)
×　tan(α-β)={√( (k＾2)-k+(3/4) )}/(2k-1)
○　tan(α-β)={√( ４(k＾2)-４k+３ )}/(2k-1)

＃１＜式の条件を緩める＞て、

と言っても、式上では何の変化もありません。

　(2k-1)√3=√{4(k^2)-4k+3)}
　3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k+3)
　3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k
　4k(k-1)=0,,,,,,＜k=0,1＞

図から明らかではありますが、検算を兼ねて、

k=0の時は、
　(p^2)=(3/4)),,,s=-√3/2,,,t=√3/2

＜＃２を先に書いたのでpになってしました。
＜(p^2)-2kp+(k-(3/4))=0を解いたときの、s,tです。
＜＃２を参照して下さい。

　2(s-t)/(1+4st)=√3　となり、
　６０度の場合で、

k=1の時は、
　(p^2)-2p+(1/4)=0
　s=(2-√3)/2,,,t=(2+√3)/2
　2(s-t)/(1+4st)=-√3 となり、
　１２０度の場合と・・・。

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

＃２　（別解）
　f(x)=(x^2)
　f'(x)=2x
　f'(p)=2p,接点は(p,(p^2))
接線の式は、
　y=2px-(p^2)
これが、(k,k-(3/4))通るので、
　k-(3/4)=2kp-(p^2)
pについて整理して、

　(p^2)-2kp+(k-(3/4))=0

接点はふたつあるので、
　S(s,(s^2)),f'(s)=2s
　T(t,(t^2)),f'(t)=2t

s＜t として

　tanα=2s,,,tanβ=2t
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
　±√3=2(s-t)/(1+4st)
　√3=2|s-t)|/(1+4st)
　(1+4st)√3=2√{((s+t)^2)-4st}

解と係数の関係より
　(s+t)=2k,,,st=(k-(3/4)),,,4st=(4k-3)

　(1+(4k-3))√3=2√{4(k^2)-(4k-3)}
　(2k-1)√3=√{4(k^2)-(4k-3)}
　3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k+3)
　3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k
　4k(k-1)=0,,,,,,＜k=0,1＞・・・・。

回答No.6

kumipapa

#5です。ごめんなさい、間違い訂正します。
＞　tan(α-β)＝2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )＝2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
は
tan(α-β)＝2 ( t - s ) / ( 1 - 4st )＝2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
です。

回答No.5

kumipapa

こんにちは。
＞　接線の式を出すと、s=k-√(k＾2-ｋ+3/4) t=k+√(k＾2-k+3/4)
＞　とすると、y=2sx-s＾2…(1)　y=2tx-t＾2…(2)
で、
＞　x軸に平行な直線をmとする。
＞　mと(1)、(2)がなす角をそれぞれα, βとすると、

ということですが、まず、接線とx軸とのなす角度αは－π/2＜α＜π/2の範囲で決めるということにしてしまいたいと思います（つまり、接線の傾きが正ならα＞0、負ならα＜0）。また、ｔ＞ｓより(2)の方が(1)より傾きは大きく、－π/2＜β＜α＜π/2とα、βをきめて、tanα＝2t , tanβ＝2sとします。

こうしますと、tan(α-β) = tan(π/3) を解くべきか、tan(α-β) = tan(2π/3)を解くべきかというご質問は、「2本の接線のなす角がπ/3の時」の「なす角」がどこの角度の事？っていう話になるような気がします。
１） ２本の接線が直線ｍ（ｘ軸）となす角の差がπ/3であるならば、tan(α-β) = tan(π/3)を解く。
２） ２本の接線が曲線Ｃを見込む角（曲線Ｃとの交点をＱ，Ｒとしたときの∠ＱＰＲ）がπ/3であるならばtan(α-β) = tan(2π/3)を解く。
ということになるのでは？

tan(α-β)＝2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )＝2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
（2k-1=0になるのはα-β=π/2のとき)

ですので、
１）の場合
2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)＝√3　を解いて（2k-1 ＞ 0の条件下で両辺２乗して）k=1を得ます。２本の接線の傾きは2±√3になります。
２）の場合
2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)＝ －√3を解いて（2k-1＜0の条件下で)、k=0を得ます。２本の接線の傾きは±√3になります。

計算間違ってたらすみません。確認お願いします。

回答No.4

tarame

＞tan(α-β)＝tan(π/3)　この式をとけば正解でしょうか？
＞それともtan(α-β)＝tan(2π/3) を解くんでしょうか？
どちらも、解かなければなりませんが、
tan(180-θ)＝-tanθ　であることから
｜tan(α－β)｜＝tan(π/3)を解いてもよいかと思います。

＞ちなみにtan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)となりました
これ、違いますよ！
接線の傾きが、2s(=tanα)，2t(=tanβ)であることから
tan(α－β)＝2(s-t)/(1+4st)＝{√(k＾2-k+3/4)}/(2k-1)ですね！

回答No.3

joggingman

>π/4<β<π/2<α<5π/4となるのはなぜでしょうか？

ｓ＜ｔなので、極限を考えると、
ｋ　－∞・・・０・・・＋∞
α　　π/2・・・2π/3・・・5π/4
β　　π/4・・・π/3・・・π/2
になるはずです。

回答No.2

take_5

接線をy＝m（x-k）+n とする。但し、 n＝k-3/4とする‥‥(1)
曲線C：y=x＾2と接線y＝m（x-k）+nが接するから、x＾2＝m（x-k）+nつまり、x＾2-m（x-k）-n＝0の判別式が0.よって、m＾2-4km+4n＝0.
これはmの2次方程式だが、その2つの解が2本の接線の傾きになる。
解と係数の関係から、m1＋m2＝4k、（m1）*（m2）＝4n‥‥(2)
条件から、tan(α-β)＝（tanα-tanβ）／（1＋tanαtanβ）＝（m1-m2）/（1+m1*m2）＝tan(π/3)‥‥(3)
後は(3)に(2)を代入してkを求めるだけ。

回答No.1

joggingman

ｓ、ｔを質問者さんのようにとると、
π/4<β<π/2<α<5π/4
となるので、
α-β=π/3でしょう。
tanα=2s、tanβ=2t
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=tan(π/3)=√3
を解けばいいんじゃないでしょうか？
k=0
y=-(√3)x-3/4
y=+(√3)x-3/4
となり、確かに、２本の接線のなす角はπ/3=60°となります。

補足

π/4<β<π/2<α<5π/4
となるのはなぜでしょうか？