確立（統計？期待値？）について

質問

数学に疎いもので、分かる方が居ればお願いします。

A、B、C、Dと4人の人間が居たとします。
さらに、中身の見えない箱が4個あり、内「2つには当たりのボール」、「残り2つにははずれのボール」が入っていたとします。
4人が順番はランダムで、順に箱を空けていく、この作業を繰り返したときに

・Q1
延々とこの作業を繰り返したとき、特定の順番が一番得をする、又は、一番損をする事はありますか？

・Q2
質問1の答えは、恐らく無しかと思いますが、それを数学的に証明するには、どのような計算になりますか？

・Q3
これを証明する元となる定理は、何というものでしょうか？（条件付確率（ベイズの定理）というもので合ってますか？）

以上です、よろしくお願いします

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

・空けた人だけがみるだけなら4人の行う各試行は繰り返しの独立試行でだれがどの順番で行っても当たる確率は2/4=1/2です．

・空けたままならいわゆるくじ引きの原理でやはり当たる確率は1/2です．このときは条件付き確率で求めます．

i番目に空ける人が当たる確率をp_iとしましょう．また，例えば1番目にあたり，2番目にはずれ，3番目にあたるという事象を1○2●3○と表しましょう．

なお事象Aが起こった時に事象Bがおこる条件付き確率をP(B|A)と書くとP(A∩B)=P(A)P(B|A)が成り立ちます．

(1)p_1=P(1○)=2/4=1/2

(2)p_2=P(1○2○∪1●2○)

=P(1○2○)+P(1●2○)

=P(1○)P(2○|1○)+P(1●)P(2○|1●)

=(2/4)(1/3)+(2/4)(2/3)=1/2

(3)p_3=P(1●2○3○∪1○2●3○∪1●2●3○)←1○2○3○のような事象はあり得ない，以下同様

=P(1○2●3○)+P(1●2○3○)+P(1●2●3○)

=P(1○)P(2●3○|1○)+P(1●)P(2○3○|1●)+P(1●)P(2●3○|1●)

=(2/4)(2・1/(3・2))+(2/4)(2・1/(3・2))+(2/4)(1・2/(3・2))=1/2

(4)p_4=P(1○2●3●4○∪1●2○3●4○∪1●2●3○4○)

=P(1○2●3●4○)+P(1●2○3●4○)+P(1●2●3○4○)

=P(1○2●)P(3●4○|1○2●)+P(1●2○)P(3●4○|1●2○)+P(1●2●)P(3○4○|1●2●)

=(2・2/(4・3))(1・1/(2・1))+(2・2/(4・3))(1・1/(2・1))+(2・1/(4・3))(2・1/(2・1))

=(4+4+4)/24=1/2

回答No.1

alice_44

開けた箱をその後どうするのかが書かれていない。
延々続けるのだから、どこかで閉じるんだろうが、
いつ閉じるのか？
たいていのルールの下で順番の間に優劣は無い
はずだが、
その示し方は、ルールの詳細ごとに異なる。

例えば、４箱開いた時点で、全部閉じて
シャッフルして、また１番の人…
というルールなら、何回やっても同じだから、
各人が１回づつ開けたとき当たっている確率
が等しいことを計算して示せば済む。

ルールがどんなものであれ、たぶん
ベイズは使わない。