確立の問題です。

質問

以前質問をさせてもらった問題についてなんですが・・・
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1355759
で、考え方について解答いただいたのですが、その考え方で求めた答えと、実際の回答が違っていたのでどの当たりで考え方が間違ったのか、または、答えが正しくて解答が違うのかなどの意見をください。
問題は「現在箱が７つ（A～Gで当たりは１つ）あります。そして、プレーヤーがどれかの箱を選択します。するとホストが、外れの箱を１つあけます。続けて、プレーヤーに箱の変更できるチャンスが与えられ、箱選択後ホストがまた外れの箱を開けます。それをもう一度繰り返し、計３回箱を選び、そのたびにホストが箱を開けます。ホストが３つドアを開けた後、箱の最終選択をします。この場合、どういう戦略を取ると当たる確率が一番高くなりますか？
　また、このとき、箱の選択を変更したあとも、選んだ箱と選ばなかった箱の区別はつくものとし、ホストは、プレーヤーがその時点で選んでいない箱のうち、ハズレの箱を開ける。ただし、それぞれの箱を選ぶ確率は同じである。プレイヤーが過去に選んだことのある箱でも、その時点で別の箱を選んでいれば、ホストが開ける可能性がある。」

　という条件で考えます。この考え方でNaoki_Mさんの考え方で確率を求めた結果、「1回目ドアの変更をしない、2回目ドアの変更をする、3回目ドアの変更をする。（ただし、1回目に選択していないドアを選択する）」
という戦略で、確率が176/615・・・28.618%と求まりました。しかし、教授の回答では「変更しない-変更
しない-変更する」の2/7・・・28.57％がもっとも確率が高く、そのほかの戦略では2/7以下にかならないという返答を受けました。

2/7よりも高い値の確率が得られたため、回答を聞いても納得がいきません。この確率が正しいかどうかだけでもいいのでご意見をください。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1です。計算がまちがっていました。

(1)最初に選んだ箱Aが外れの確率…6/7
(2)もう一度Aを選んだ時点で開いている箱は2つ、A以外の残りは4つ
(3)別の箱Bを選んで、それが外れの確率…3/4
(4)残りの3つの外れの箱から、ホストが次に開ける箱をランダムに選ぶとすると、Aを選ぶ確率は1/3,A以外を選ぶ確率は2/3
(5)ホストがAを選んだ場合、次の選択で当たる確率は1/3。ホストがA以外を選んだ場合、次の選択で当たる確率は1/2。
(6)したがって、当たりの確率は
　6/7×3/4×(1/3×1/3 ＋ 2/3×1/2) = 2/7
つまり、「同同変」と同じ確率です。

「変変変」戦略でも同じ方法で計算すると、2/7になります。

回答No.3

shkwta

No.1の補足への回答です。
まだ完全に解明できたわけではありませんが、ホストが1,3,4,5を開ける確率が均等でないように思います(ホストは外れの箱だけを開けるが、1,3,4,5の外れの確率が異なるため）。

そこで3ラウンド目の場合分けをしてみると、
(1) 1が当たりの場合（割合1/7) 以後ホストがどの箱を開けても確率に関係なし。
　　(1,0,0,0,0,0,0)

(2) 2が当たりの場合（割合3/14) 以後ホストがどの箱を開けても確率に関係なし。
　　(0,1,0,0,0,0,0)

(3) 3～5が当たりの場合（割合 9/14)
　(3-1)ホストが1を開ける場合。3～5には外れが2つあるので、ホストが1を開ける確率は1/3
　　(0,0,1/3,1/3,1/3,0,0)
　(3-2)ホストが3を開ける場合。(3-1)以外で3,4,5を開ける確率は均等だから、ホストが3を開ける確率は2/9
　　(0,0,0,1/2,1/2,0,0)
　(3-3)ホストが4,5を開ける場合も同様で、それぞれ
　　(0,0,1/2,0,1/2,0,0)
　　(0,0,1/2,1/2,0,0,0)

(3-1)で当たる確率は (1/3)×(1/3) = 1/9
(3-2,3)で当たる確率は (2/9)×(2/1)×3 = 1/3
合計 4/9

よって、「同変変」戦略で当たる確率は、
(9/14)×(4/9) = 2/7

これでどうでしょうか？

回答No.1

shkwta

前回No.1355759のNo.4です。前回は「プレイヤーが過去に選んだことのある箱でも、その時点で別の箱を選んでいれば、ホストが開ける可能性がある」の条件を入れていなかったのでお役に立てなかったようです。

「同変変」戦略で確率が176/615になる計算がよくわからないので、補足をお願いします。

こちらで計算したものを示しますので、考え方が違うようなら指摘してください。
(1)最初に選んだ箱Aが外れの確率…6/7
(2)もう一度Aを選んだ時点で開いている箱は2つ、A以外の残りは4つ
(3)別の箱Bを選んで、それが外れの確率…3/4
(4)ホストが次に開ける箱をランダムに選ぶとすると、Aを選ぶ確率は1/4,A以外を選ぶ確率は3/4
(5)ホストがAを選んだ場合、次の選択で当たる確率は1/3。ホストがA以外を選んだ場合、次の選択で当たる確率は1/2。
(6)したがって、当たりの確率は
　6/7×3/4×(1/4×1/3 ＋ 3/4×1/2) = 33/112 = 0.29464…
確率は2/7より大きいです。

「変変変」戦略でも同じ方法で計算してみました。9/28 = 0.32142…
もっと確率が高くなります。

しかし、「ホストはプレーヤーが最も不利になる箱の開け方をする」と仮定すると、「同変変」の確率は3/14, 「変変変」の確率は6/35となります。この場合、「同同変」戦略の確率 2/7が最も高いようです。

教授の答は、「ホストはプレーヤーが最も不利になる箱の開け方をする」という条件によるものではないでしょうか。

補足

返答ありがとうございます。自分で計算した方法は次のように行いました。
自分の戦略の考え方は次のようにしました。
最初に当たる確率は
P()=(1/7、1/7、1/7、1/7、1/7、1/7、1/7)

最初に、Aを選びホストがGを開くと確率は次のようになる
Ｐ(A選、G開)= (1/7，6/35，6/35，6/35，6/35，6/35，0)

2回目に、もう一度Aを選び、Fを開くと確率は次のようになる。
Ｐ(A選,G開 ＆ A選,F開)＝(1/7，3/14，3/14，3/14，3/14，0，0)

3回目にBを選ぶと、次の4通りが考えられる。
Ｐ(1選,7開 ＆ 1選,6開 ＆ 2選,1開)＝(0，3/15，4/15，4/15，4/15，0，0)
Ｐ(1選,7開 ＆ 1選,6開 ＆ 2選,3開)＝(8/41，9/41，0，12/41，12/41，0，0)
Ｐ(1選,7開 ＆ 1選,6開 ＆ 2選4開)＝(8/41，9/41，12/41，0，12/41，0，0)
Ｐ(1選,7開 ＆ 1選,6開 ＆ 2選,5開)＝(8/41，9/41，12/41，12/41，0，0，0)

ここからプレーヤーはA、Bのドア以外で残ったドアを開くことになる。そのときの期待値は
P={(1/4)*(4/15)}+{(1/4)*(12/41)}+{(1/4)*(12/41)}+{(1/4)*(12/41)}
=176 / 615 ・・・　　28.618％

教授に尋ねたところ、ホストは平等に箱を開けるものとして考えると返答を受けました。