数C・式と曲線の問題 教えてください！

質問

x軸に接し、円O1: x^2+(y-5)^2=1 に外接する円の中心Pの軌跡を求めよ。

略解では
放物線x^2=12y-24
となっています。
どうしてこうなるのかよく分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

図を描きましたか？
図が正しく描ければ、すぐ軌跡が求まるよ。

問題文から添付図のような図が作れます。
円O1とX軸に外接する円O2の中心座標をP(x,y)とすれば、
y＞0ですが、xは正負の値をとります。
円O1の中心座標はA(0,5),円O1と円O2の接点をMとします。
PからY軸に下ろした垂線の足Rの座標は(0,y)、PからX軸に下ろした垂線の足Qの座標は(x,0)となります。
直角△PAR（∠R=90°）に三平方の定理を適用すれば
PR=|x|,PA=PM+AM=PQ+AM=y+1,AR=|AO-PQ|=|5-y|なので

PR^2+AR^2=PA^2

(|x|)^2+(|y-5|)^2=(y+1)^2
x^2=(y+1)^2 -(y-5)^2
x^2=2y+1+10y-25
x^2=12y-24

これが略解の放物線の式（点Pの軌跡）でしょう。
>略解では
>放物線x^2=12y-24
>となっています。
>どうしてこうなるのかよく分かりません。

普通のy= ...の放物線の式にすると
　y=(1/12)x^2 +2
となります。

お礼

お礼が非常に遅くなってしまい申し訳ありません。回答を確認した際にお礼をしていたつもりが、投稿できていなかったみたいで……助けていただいたにも関わらず大変失礼致しました。
図を間違えて書いていて、最初の立式の時点で意味不明な式になっていました(^^;)
画像付きで回答頂けたので、助かりました。ありがとうございました。