離心率の問題

質問

点F(1,0)とy軸との距離の比がe:1(eは正の定数)である点Pの軌跡の方程式を求め、その軌跡の表す図形の概形をかけ。

P(X,Y)とおくと、PF=√(X-1)^2+Y^2, Pとy軸の距離=|X|
PF:|X|=e:1よりPF=√(X-1)^2+Y^2=e|X|
両辺を2乗し、(X-1)^2+Y^2=e^2X^2
(1-e^2)*X^2-2X^2-2X+Y^2+1=0•••(1)

(i) e=1の時
(1)は-2X+Y^2+1=0 となり、軌跡は放物線x=(1/2)y^2+(1/2) となる。

(ii)e>1の時
(1)を平方完成し、右辺を1にすると、[{(1-e^2)^2}/e^2]*[X-{1/(1-e^2)}]^2 + {(1-e^2)/e^2}*Y^2=1•••(2)
{(1-e^2)^2/e^2}>0, {(1-e^2)/e^2}<0 より点Pの軌跡は双曲線[{(1-e^2)^2}/e^2]*[X-{1/(1-e^2)}]^2 + {(1-e^2)/e^2}*Y^2=1となる。

(iii) 0<e<1の時
{(1-e^2)^2/e^2}>0, (1-e^2)/e^2>0 より、点Pの軌跡は楕円[{(1-e^2)^2}/e^2]*[X-{1/(1-e^2)}]^2 + {(1-e^2)/e^2}*Y^2=1となる。

質問ですが、まずe>1の場合の双曲線の概形の書き方がよく分かりません。
答えのグラフを見ると中心が原点Oより左側の1/(1-e^2), 右側の曲線の頂点が1/(1+e), 左側の曲線の頂点が1/(1-e)となっています。中心が1/(1-e^2)でこれはe>1より負の値なので、原点Oより左側にくるのは分かります。一方で、なぜ頂点が1/(1+e)と1/(1-e)となっているのか分かりません。この1/(1+e)はどのようにして求めれば良いのでしょうか??

次に0<e<1の場合についても同じ質問ですが、答えのグラフを見ると楕円の長軸の右側の座標が1/(1-e), 左側が1/(1+e)となっているのですが、これはなぜでしょうか??

回答No.1

Tacosan

できる図形は x軸に関し対称だから, 頂点も x軸上にある.