こんばんは。数?の問題について教えてください。

質問

こんばんは。数?の問題について教えてください。

原点Oからの放物線y=x^2+ax+bに引いた２本の接線の接点をP,Qとする。(ｂ＞０、Pのｘ座標＜Qのｘ座標）

線分PQと放物線およびｙ軸で囲まれた図形の面積をS1、線分PQと放物線およびｙ軸で囲まれた図形の面積をS2とするとき、S1とS2との比を求めよ

式まで書いていただけるとうれしいです；

よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 線分PQと放物線およびｙ軸で囲まれた図形の面積をS1、線分PQと放物線およびｙ軸で囲まれた図形の面積をS2とするとき、S1とS2との比を求めよ

S1もS2も「線分PQと放物線およびｙ軸で囲まれた図形の面積」となっています。
該当する図形は2つ存在しますが、どちらがS1でどちらがS2でしょうか？

まずは放物線と接線の交点の座標を求めます。
とりあえず、放物線と接線の接点のx座標をtとおきます。
すると接点の座標は(t, t^2 + at + b)とおけます(y座標は放物線の式から算出)。
よって接線の方程式は
y - (t^2 + at + b) = (接線の傾き)(x - t)
とおけます
(点(a, b)を通る直線の式は、傾きをkとおくとy - b = k(x - a)で表されます。
この話は数2の「図形と方程式」で習っていると思います)。
接線の傾きは微分して出せば良いですね。
f(x) = x^2 + ax + bをxで微分してf'(x)を求め、
座標(t, t^2 + at + b)における接線の傾きf'(t)を求めましょう。
あとは求めたf'(t)を
y - (t^2 + at + b) = (接線の傾き)(x - t)
の式の(接線の傾き)に代入してください(これをとりあえず式1とします)。
問題文中に「原点Oから放物線y = x^2 + ax + bに向かって接線を引く」と書かれているので、
先ほど式1も点(0, 0)を通ることになります。
なので式1にx = 0, y = 0を代入しても等号が成立します。
式1にx = 0とy = 0を代入すると、
tの値がa, b, 数字を用いて表現されます。
これでtの値の算出は終了です。

tが求まったということは、放物線と接線の接点の座標が全部求まったことになります。
あとは地道に積分して面積の比を考えれば良いと思います。

余談ですが、今回のお話と似た場面で使える公式があった気がします。

お礼

ありがとうございました！
一番これだ！ときたのでベストアンサーに選ばせていただきます＠＠

遅れてすみませんでした；ｗ；

回答No.3

info22

線分PQと放物線およびｙ軸で囲まれた図形の左側、右側の面積を
それぞれS1,S2とおく。
接線を y=mx とおき、放物線に接する条件からmを求めると
mq=a-2√b(<0),mq=a+2√b(>0)
P,Qのそれぞれのx座標は-√b,√b,
接線OP,OQの方程式はそれぞれ
y=(a-2√b)x, y=(a+2√b)x
S1=∫[-√b,0] x^2+2(√b)x+b dx
S2=∫[0,√b] x^2-2(√b)x+b dx
この積分を行ってS1,S2を求めて比をとれば良い。
。。。
その結果
S1:S2=1：1
が出てくれば良いかと思います。
ご自分でやってチェックしてみてください。

お礼

遅くなりました＞＜
ありがとうございます！

回答なんとか出ました

回答No.2

nag0720

式だけ書いておきます。

f(x)=x^2+ax+b
とおくと、x=pでの接線の式は、
y=f'(p)(x-p)+f(p)=f'(p)x-pf'(p)+f(p)
この接線が原点を通るということは、
y切片=-pf'(p)+f(p)=0
これを解くと、PとQのx座標が分かります。
それを、p,qとすると、
直線PQの式は、
y=(f(q)-f(p))(x-p)/(q-p)+f(p)
直線PQのy切片をrとすると、
r=(qf(p)-pf(q))/(q-p)

線分PQと放物線で囲まれた面積のうち、ｙ軸の左側をS1、右側をS2とすると、
S1=(-p)(f(p)+r)/2-∫[p～0]f(x)dx
S2=q(r+f(q))/2-∫[0～q]f(x)dx

お礼

遅くなってすみません
なんとか回答までたどり着きました

何パターンもあって頭よくなった気がします＞＜

ありがとうでした！