2次曲線の問題で

質問

たぶん基本的な問題なのだと思いますが
x軸に接し、円x^2＋(y－5）^2＝1に外接する円の中心Ｐの軌跡を求める問題で、点Ｐの座標を(x,y)といて円の中心（0,5）から点Ｐの距離と
点Ｐからx軸に垂直に線をおろした点（x,0)と点Ｐの距離とで等式を
たてたのですが自分の解いた答えはx^2=10y-24で
答えのx^2=12y-24と違ってしまうのでどう計算すればこの答えになるのでしょうか。
ちなみに自分のたてた式はx^2+(y-5)^2-1=y^2です。
長々となってしまいすいません。

回答No.3

tarame

考え方はよかったのですが、
円の中心Ａ(0,5)とＰとの距離は、AP＝√{x^2＋(y-5)^2}
外接するのでＰから接点までの距離は、AP－r となります。
これが、Ｐとｘ軸との距離 |y| に等しいので
　AP－r＝|y| 　すなわち　√{x^2＋(y-5)^2}－1＝|y| となります。
あなたが間違えたのは、AP^2－r^2＝|y|^2 と距離を２乗してしまったことですね。

回答No.2

info22

＞自分のたてた式はx^2+(y-5)^2-1=y^2です。
は正しくありません。
＞自分の解いた答えはx^2=10y-24で
式が間違っていますので答えと一致しないのは仕方が無いですね。
正しい式は
x^2+(y-5)^2=(y+1)^2
です。
＞答えのx^2=12y-24と違ってしまう
上式を変形すれば
x^2=12y-24
と答えと一致します。

お礼

こんなに早く回答していただきありがとうございました。
もっと考えて問題を解いてみたいと思います。

回答No.1

noname#56760

Ａ（0,5）
Ｐ(x,y)
Ｘ（x,0)
２円の接点をＢ
とすると条件より
ｙ＝ＢＰ＝ＰＸ
ＡＢ＝１
を使って
ＡＰ＝ＡＢ＋ＢＰで立式
√{x^2+(5-ｙ)^2}=y+1
之をといて
x^2=12y-24

お礼

こんなに早く回答していただきありがとうございます。
式の立て方がとても参考になりました。