数学Cの証明です。

質問

数学Cです。

定直線lと、lに交わらない定円Aがある。lと円Aに外接する円の中心Pの軌跡は放物線になることを示せ。

回答No.1

spring135

定直線lをx軸に、lに交わらない定円Aの中心をy軸上にとる。定円Aの中心Aの座標を(0,a)、

半径をrとする。a≧rとする。円Pと直線lの接点Qの座標は(x,0)である。

lと円Aに外接する円の中心Pの座標を(x,y)とすると

PQ=PA-r

であるので

PQ=y, PA=√(x^2+(y-a)^2

を代入して

y=√[x^2+(y-a)^2]-r

y+r=√[(x^2+(y-a)^2]

両辺を2乗して整理すると

y=x^2/[2(a+r)]+(a-r)/2

これは頂点を(0,(a-r)/2)とする放物線である。

軌跡