a^0=1 の証明 ...

質問

２つの前提を置く。（a^p, a^qは実数）
a^p a^q = a^(p+q)
a^(-1) ≠ 0

a^0 に対して、次の関係式が成り立つ。
a^0 a^0 = a^0 より a^0 (a^0 - 1) = 0
よって、a^0 は 0 または 1 である。

次に、a^1 ≠ 0 と a^1 = 0 とに分けて考える。
ただし、a^1 は実数とする。

a^1 ≠ 0 であるなら
a^1 a^0 = a^1
により a^0 = 1 である。

a^1 = 0 ならば
a^(-1) a^1 = a^0
a^(-2) a^1 = a^(-1)
であるから
a^0 = 0, a^(-1) = 0, …
となるが、この結果はもう一つの前提に反する。
これは a^0 = 0 を許しているからであり a^0 = 1 とすれば
a^(-1) × 0 = 1
により a^(-1) が未定義となるので回避される。

以上により、a^0 = 1 であることが証明された。

…で良い？

回答No.24

alice_44 · ベストアンサー

←No.22 補足
＞ 指数関数の拡張としてはそうするしかない
＞ と言えるのではないですか？

そのとおり。言えます。
それが当に、「a^0=1 は必要条件」ということです。
「指数関数の拡張としてはそうするしかない」すなわち
他に候補は無い…ということは正しく示されました。

そのことと、だからそう定義して矛盾なく拡張できる
ということは、全く別の話です。T=-1 が実数 T の
存在証明にならなかったことを、思い出しましょう。

十分性について、貴方は No.8 補足の定義を挙げています。
それに従えば、0^0=1 の根拠は「そう定義したから」です。
定義に、そう明記してあるんですからね。

質問文中の証明は、a^(-1) を使用していますから、
a=0, p<0 のとき a^p が未定義であるような定義の下では、
a=0 の場合に適用することはできません。

No.8 補足の定義によれば、
0^0=1 は、質問の証明とは関係なく、
単に定義にそう書いてあるから成り立つのです。
a>0 のとき指数法則から a^0=1 が導かれるのとは、
理由が違います。

お礼

ここまで来ると、もう納得するしかありませんね。

> そのとおり。言えます。
> それが当に、「a^0=1 は必要条件」ということです。
> 「指数関数の拡張としてはそうするしかない」すなわち
> 他に候補は無い…ということは正しく示されました。

これが私の意図を正しく表しているでしょう。

> 十分性について、貴方は No.8 補足の定義を挙げています。
> それに従えば、0^0=1 の根拠は「そう定義したから」です。
> 定義に、そう明記してあるんですからね。

0^0=1 とするためには、そう定義しなければならない。
多分、それも正しいことです。
指数法則と 0^0 以外の値を元にして、0^0 は決定できないのですから。

> 質問文中の証明は、a^(-1) を使用していますから、
> a=0, p<0 のとき a^p が未定義であるような定義の下では、
> a=0 の場合に適用することはできません。

私は a^0=1 となる関数を定義したつもりはなく、前提に矛盾しない関数を定義するなら、a^0=1 とならなければならないという証明をしてたつもりです。
それが、前提の式だけで a^0=1 が証明されたと受け取られたなら、書き方が悪かったのでしょうね。

回答ありがとうございました。

回答No.27

tsukita

No26です。

> > 3 a^0=1 a^1=0　実数がくずれる（1=2=3=・・・）
> a^p をどう定義しようと、実数はくずれません。
> そして、この場合は関数a^p に矛盾も生じません。
> どういうことを言っているのか、説明をお願いします。

a^0 = a^(0+1) = a^0 a^1 より（前提１）
1 = 1 × 0 （場合分けの仮定より）
1 = 0　（単位元と零元の一致）

ですが、矛盾がないということですか？

回答No.26

tsukita

Ｎｏ２５です。
間違いがあるので、こちらで差し替えます。

----------------
Ｎｏ．２３です。

＞　a^0 = 0 は否定しています。
＞　その場合は、a^(-1) = 0 となりますから、前提に反しています。

４つの場合分けが考えられると思います。
1 a^0=0 a^1=0　a^{-1}≠0に反する
2 a^0=0 a^1≠0　a^{-1}≠0に反する
3 a^0=1 a^1=0　実数がくずれる（1=2=3=・・・）
4 a^0=1 a^1≠0　矛盾なし

つまるところ、対象は a^0=1 a^1≠0
の場合を考えていることになります。

その意味では、
２つの前提から a^0=1 が導かれたことになるので、
証明できる（必然だ）と言えるのですね。

ただし、
広く一般に高校の教科書などでかかれている、
2^{-1}=1/4
2^{-1}=1/2
2^0=??
2^1=2
2^2=4
2^3=8
の規則からa^0=1と“定義する”方法と、
当該議論のように２つの前提を定めることでa^0=1を導く方法とは
鶏と卵の話と同じで、どちらを優先するかの違いでしかありません。

お礼

> 1 a^0=0 a^1=0　a^{-1}≠0に反する
はい。

> 2 a^0=0 a^1≠0　a^{-1}≠0に反する
a^p a^q = a^(p+q) に反してますので、a^(-1) は計算出来ません。

> 3 a^0=1 a^1=0　実数がくずれる（1=2=3=・・・）
a^p をどう定義しようと、実数はくずれません。
そして、この場合は関数a^p に矛盾も生じません。
どういうことを言っているのか、説明をお願いします。

> 4 a^0=1 a^1≠0　矛盾なし
はい。

> 広く一般に高校の教科書などでかかれている、
> ...
> の規則から

数式を並べただけでは、規則にはなりません。
多分そうやって、規則を考えないから、a^0=1 という結論を出せないんでしょうね。

例えて言うなら、次のようなことです。

石を持って手を離せば、下に落ちる。
それを見た人は、何でも下に落ちると結論する。
でも、力学を知っている人なら、空気より軽ければ浮かぶと結論する。
実際に、水素の入った風船は浮かび上がる。

回答ありがとうございました。

回答No.25

tsukita

Ｎｏ．２３です。

＞　a^0 = 0 は否定しています。
＞　その場合は、a^(-1) = 0 となりますから、前提に反しています。

４つの場合分けが考えられると思います。
1 a^0=0 a^1=0　a^{-1}≠0に反する
2 a^0=0 a^1≠0　a^{-1}≠0に反する
3 a^0=1 a^1=0　実数がくずれる（1=2=3=・・・）
4 a^0=1 a^1≠0　矛盾なし

つまるところ、対象は a^0=1 a^1≠0
の場合を考えていることになります。

その意味では、
２つの前提から a^0=1 が導かれたことになるので、
証明できる（必然だ）と言えるのですね。

ただし、前提の２つを用意することと、
広く一般に高校の教科書などでかかれている、
2^{-1}=1/4
2^{-1}=1/2
2^0=??
2^1=2
2^2=4
2^3=8
の規則からa^0=1と“定義する”方法と、
当該議論のように２つの前提を定めることでa^0=1を導く方法とは
鶏と卵の話と同じで、どちらを優先するかの違いでしかありません。

回答No.23

tsukita

＞　だとしても、a^0 = 0 が否定されるなら、
＞　指数関数の拡張としてはそうするしかないと言えるのではないですか？
＞　この証明が指数関数の拡張を一つに絞り込むことに繋がるのなら、
＞　結果としての定義が上の形であったとしても、私はそれを証明したことにはなりませんか？
＞　つまり、a^0 = 1 と定義することには数学的必然性があると言いたいのです。

これまで多くの回答者が述べているように、
a^0 = 0 を否定しきれないケース（a=0の場合）が
肝心なのであり、したがって、a^0=1 は“必然”とは言い切れないということでしょう。

では、a≠0 の場合に限れば必然か？

を考えてみても“必然”と言い切ってよいか
少し疑問に考えるとことがあります。

【理由１】
a^0≠0でればa^0=1に限られるという議論はそもそも
a^0(a^0-1)=0　
から来ています。

　a^0が実数値であり、
　零元の外に零因子が存在しない
　（より厳密には環の加法と乗法も定義されている）

という前提まで加えて、はじめて a^0=1 となります。
“数学的に必然”と言い切るための、より厳密な・慎重な定義が必要です。

【理由２】
指数法則という（ある意味で我々にとって）便宜的な法則
a^p a^q = a^(p+q) を前提としたうえで a^0 を議論している部分。

a^0 の値の議論が先にあって、
a^0=1 だから指数法則が成り立つね

という流れではなく、指数法則を前提としてしまっては、
a^0=1 が導かれるのは当然でしょう。

お礼

> これまで多くの回答者が述べているように、
> a^0 = 0 を否定しきれないケース（a=0の場合）が
> 肝心なのであり、したがって、a^0=1 は“必然”とは言い切れないということでしょう。

a^0 = 0 は否定しています。
その場合は、a^(-1) = 0 となりますから、前提に反しています。

> a^0が実数値であり、
> 　零元の外に零因子が存在しない
> 　（より厳密には環の加法と乗法も定義されている）
>
> という前提まで加えて、はじめて a^0=1 となります。

a^p が実数なのですから、加法も乗法も定義されてます。

> 指数法則という（ある意味で我々にとって）便宜的な法則
> a^p a^q = a^(p+q) を前提としたうえで a^0 を議論している部分。

指数関数の定義で指数法則を前提にするのは当然です。
私は指数法則が成立しない指数関数というものを見たことはありません。
指数関数にとって主要な部分を便宜的と呼ぶ理由は何ですか？

> 指数法則を前提としてしまっては、
> a^0=1 が導かれるのは当然でしょう。

ここだけは字面通りに受け取っておきます。

回答ありがとうございました。

回答No.22

alice_44

←No.20 補足
それは、見過ごしていました。
No.8 の回答を開いてみた時には、未だ
補足は付いていなかったのでね。

その定義なら、特に問題は無いでしょう。
A No.5 の時点から
＞　良い。
＞　ただし、二つの前提
＞　a^p a^q = a^(p+q)
＞　a^(-1) ≠ 0
＞　が成立するような a,p,q の範囲に限っては。
と書いているとおりです。ただし、
a^(-1) が登場する質問文の証明は、
No.8 補足に定義された a^p のうち
a>0 の場合にしか適用できない
ことは、お忘れなく。

その定義の下では、場合分けして、
a>0 のときは、質問文中の証明,
a=0 のときは、定義により a^0=1.
とすることになるかな。
してみると、No.1 の回答も
かなり核心に迫っていたようですね。

お礼

> a^(-1) が登場する質問文の証明は、
> No.8 補足に定義された a^p のうち
> a>0 の場合にしか適用できない
> ことは、お忘れなく。

そこが理解出来ません。
前提となる式が正しいなら、a^0 = 0 となる定義は作れないって所がこれの肝ですからね。

ただし、
a^p a^q = a^(p+q)
の定義域が a^1 = 0 の時は p >= 0, q >= 0 であろうことは理解出来ます。
よって、a^0 = 1 という定義も必要になるでしょうね。

だとしても、a^0 = 0 が否定されるなら、指数関数の拡張としてはそうするしかないと言えるのではないですか？
この証明が指数関数の拡張を一つに絞り込むことに繋がるのなら、結果としての定義が上の形であったとしても、私はそれを証明したことにはなりませんか？
つまり、a^0 = 1 と定義することには数学的必然性があると言いたいのです。

回答ありがとうございました。

回答No.21

nag0720

＞それにはたとえば複素数は含まれないんでしょうか？
＞そして、適当な２つの複素数を選べば、積が実数になったりならなかったりしますよね？

複素数と呼ばれるものが含まれていてもいいのではないですか。
積が実数になるのはそう定義したからであって絶対唯一のものではないし、
「実数ではない何か」を含めた集合で体を作ろうという話ではないので、
単に「積は定義されていない」でも十分ではないでしょうか。

この部分は納得できないですが、

a^0 = 0 とすると、a^(-1)が実数でないと証明することはできない
というのは分かりました。

これは、前提条件が、
a^p a^q = a^(p+q)
a^(-1) ≠ 0
だけですから、そうかもしれません。

お礼

> 複素数と呼ばれるものが含まれていてもいいのではないですか。
> 積が実数になるのはそう定義したからであって絶対唯一のものではないし、
> 「実数ではない何か」を含めた集合で体を作ろうという話ではないので、
> 単に「積は定義されていない」でも十分ではないでしょうか。

この部分は、それならそれで良いんです。
元々、「複素数ではない何か」に置き換えれば済むことですからね。

ただ、ここで重要なのは、「実数ではない何か」を同値とするために、積の定義を放棄したことです。
それは、同値関係を作る手段（＝実数との区別の方法）が一つ減ったことを意味します。

> これは、前提条件が、
> a^p a^q = a^(p+q)
> a^(-1) ≠ 0
> だけですから、そうかもしれません。

ここは、一般的な数学と矛盾しないならば、何を付け加えても構いません。
そうでなければ、せっかく作った証明が、現実の数学と相容れないものだったということになります。

「実数ではない何か」に対しては、条件を加えればそれだけ実数との違いを創り出すのが容易になります。
一方で、それは「実数ではない何か」に制限を加えるので、前提条件を満たさない可能性が増大します。
よって、「実数ではない何か」と実数の区別には十分であり、前提条件を壊すこともない条件が存在するのかどうか、というのがこの証明の鍵となると思います。

回答ありがとうございました。

回答No.20

alice_44

←No.18 補足
あ、いかん、本当だ。S=0 にならない。
あの例は、駄目でしたね。

陳謝訂正: 替わりの例を挙げましょう。
T=1+2+4+8+16+… を考えると、T=1+2T から T=-1 となります。
しかし、値 -1 が得られたことは、実数 T の存在証明にはなりません。

T が実数だとすれば T=-1 であること を証明したが、
T は実数ではないので、-1=1+2+4+8+16+… ではないのです。

今度は、ちゃんと、貴方の証明と同じ現象が起こっています。

＞ どちらも実例を示せば、結論は出ます。

そのとおりです。実例を示せば結論は出る。それが、十分性の確認です。
しかし、貴方の証明は、実例を示していません。
a↑0=1 というのは、前提を満たすべき二変数関数 a↑p の
ほんの欠片に過ぎない。
貴方は、関数 a↑p 全体の実例を示していないのです。

解の存在証明をせずに、式変形で導いただけの値は、必要条件、
単に解の候補であるに過ぎない。後で十分性の確認が必須です。

これは、誰もが理解すべき、全く普通の話ですが、
貴方は、未だやっていません。

お礼

> あ、いかん、本当だ。S=0 にならない。

私もてっきりそういう例だろうと思って、ちゃんと見てませんでした。

> T が実数だとすれば T=-1 であること を証明したが、
> T は実数ではないので、-1=1+2+4+8+16+… ではないのです。

正数の足し算を繰り返して負数になるという法則は実数にはないですからね。
よって、最初の式が成立しないことは明確であり、T が実数でないことがはっきりしました。
つまり、実数だと仮定して、求めた値を最初の式に代入して成立しないことを確認し、結果として実数でないことを証明したのです。

T が実数でないことが分かると、T には実数とは違う法則が成り立つと考えねばなりません。
T + 1 = T, T * 2 = T などです。
すると、T = 1 + 2T は T = T と同じ意味であり、この式から T を求めるのは無理だと判断できます。

このように、最初の式に戻って成立してるか確認することを「十分性の確認」と呼んでるんですよね？

> 貴方は、関数 a↑p 全体の実例を示していないのです。

実例なら＃８のお礼に示しています。
＃１０のお礼では＃８のことに言及してるので見てることにしてました。

再掲しますと、次のような関数です。（a > 0 と a = 0 の結果をくっ付けただけ）
ただし、未定義となっている部分は定義域でないことの明確化のためです。
∧(a, p) = {
a^p | a > 0,
0 | a = 0, p > 0,
1 | a = 0, p = 0,
未定義 | a = 0, p < 0 }

もし、この関数が前提に反するのなら、その箇所を示してください。

回答ありがとうございました。

回答No.19

nag0720

＞単に「実数ではない何か」では、それがいくつあるのか、互いの関係、などが不明なのです。

不明であっても、「実数ではない何か」を全て同値とし、実数とは同値にならないと定義すればいいのでは？
勝手に定義しちゃダメ？
同値関係であることの証明も必要ですか。

勝手に定義しちゃダメなら、「a^(-1) ≠ 0」の前提は、
「a^(-1)は実数でないかもしれないが、実数でないもの同士および実数との同値関係が定義されていなければならない」ということなんでしょうか。

そういう意味ならa^(-1)の正体を明らかにできない以上、「a^(-1) ≠ 0」という前提はかなりきつい制限になってしまいますね。

＞明らかに同じじゃないというのは、同じとした場合に矛盾が生じる場合に使うべきです。

「a^(-1)=0なら、a^(-1)は実数になるから仮定に反する」だけでは不十分ということですか。

集合論の
A⊂S、a,b∈S
a∈A ∧ ￢(b∈A) ⇒ a≠b
というのは、同値関係を明確にせず、a,bをSの要素としているだけでは証明不可能なんでしょうか。

お礼

> 不明であっても、「実数ではない何か」を全て同値とし、実数とは同値にならないと定義すればいいのでは？

それにはたとえば複素数は含まれないんでしょうか？
そして、適当な２つの複素数を選べば、積が実数になったりならなかったりしますよね？
こんな風に演算結果が異なることがあるとすれば、元の複素数は同値であるとは言えません。

> 勝手に定義しちゃダメなら、「a^(-1) ≠ 0」の前提は、
> 「a^(-1)は実数でないかもしれないが、実数でないもの同士および実数との同値関係が定義されていなければならない」ということなんでしょうか。

そう思います。
実数でないものと実数との同値関係が定義されていなければ、そもそも「実数でない」と見分けることができません。それは集合と呼ぶ資格がないことを意味します。
また、実数でないものが一つだと仮定しても、それが反射律を満たすことの証明には同値関係を明らかにする必要があります。

> 集合論の
> A⊂S、a,b∈S
> a∈A ∧ ￢(b∈A) ⇒ a≠b
> というのは、同値関係を明確にせず、a,bをSの要素としているだけでは証明不可能なんでしょうか。

「実数でない」というのは、自称に過ぎません。
自称サラリーマンが年収０なら、無職と判断する以外にないのと同じです。

実数かどうかは、「実数でない」と宣言するだけでは不十分で、実数にない性質を示す必要があります。
それは実数でないからこうなる筈だ、ではなく、何らかの前提を使って示す必要があります。

今回の件で言えば、自称実数でない a^(-1) は
a^(-1) a^1 = a^(-1) * 0 = 0
という式が（この式の定義域でないという理由で）成り立つとされています。
でも、それだけだと実数との違いが存在しないのです。
違いがないものを、実数ではないと判断することはできません。

回答ありがとうございました。

回答No.18

alice_44

←No.14 補足
＞ それを考える必要はありません

いんや、あります。よく考えなければなりません。

＞ それって、実数解の存在を証明しているじゃないですか

そうじゃない！ってことを、A No.10 の S の例で示しました。
値 S=0 が得られたことは、S=1+1+1+… を満たす実数
S の存在証明にはなっていません。
実数 S が存在するとすれば S=0 であるという
必要条件に過ぎないのです。

解の存在を仮定して計算を始め、値の候補が一個に絞れたら
それで完了と思ってしまう間違いは、
初等数学の答案では、頻繁に見かけます。

先の S のような発散級数の計算も、典型のひとつだし、
方程式の両辺を２乗して十分性を失ってしまうミスも、同様。

一般に、方程式の式変形は、必要条件を導出する処理であって、
解の候補が絞り込めたら、最後に十分性を確認しなくてはならない。

等式変形の多くが同値変形であることを悪用して、
方程式を最初に教えるときに、そこの話を省略する先生が多いから、
解の存在証明の大切さを理解しない生徒が絶えないのです。

方程式には、解が無い場合があり、
公理には、それを満たす実体が無い場合がある。
その可能性を検討しないで行う議論は、
「もし、解が存在するとすれば…」という
条件付きの結論しか、もたらしません。

これは、非常に重要な話なんですよ。

お礼

> そうじゃない！ってことを、A No.10 の S の例で示しました。
> 値 S=0 が得られたことは、S=1+1+1+… を満たす実数
> S の存在証明にはなっていません。

謝罪と共に＃１０まで話を戻しますが、S = 1 + S から S = 0 を求める方法は何ですか？
多分、ここの話を続けるには、それを明確化しておく必要があると思われます。

> 一般に、方程式の式変形は、必要条件を導出する処理であって、
> 解の候補が絞り込めたら、最後に十分性を確認しなくてはならない。

十分性というのは、最初の式（条件）を満たすということでしょう。
それ以外の意味があれば教えて下さい。
実数だという仮定で解を求め、その解が実数なら、十分性はすでに確認していますよね？

> 方程式には、解が無い場合があり、
> 公理には、それを満たす実体が無い場合がある。

どちらも実例を示せば、結論が出ます。

> これは、非常に重要な話なんですよ。

私には、普通の話にしか思えません。
そして、既にやってることとしか。

回答ありがとうございました。

回答No.17

nag0720

＞式だろうと変数だろうと、都合の良い仮定を置いて良いんです。
＞それで解いた後、元の仮定を満たすならそれが解ですし、満たさないなら解でないというだけです。

そうですね。
だから、> a^(-1),a^(-2),・・・が実数でないと仮定して、a^0=0　となりました。

＞a^(-1) ≠ 0 はどうやって証明するんですか？
＞実数でない数との比較が定義されていない以上、反していないとは言えません。

比較ってなに？
不等号＜、＞なら比較するが必要がありますが、≠は不等号ではなく等号否定です。
単に、同じか同じでないかを調べればいいだけです。

片方が実数で片方が実数でないなら、明らかに同じじゃないですよね。

お礼

> 比較ってなに？

今回は不等号ですから、等しくないことを証明する必要があります。
では、等しいとはなに？　…となるでしょうけど、数学的には反射律、対称律、推移律などを満たさなければならないのです。（詳しくはWikipedia「等式」などを見てください）

たとえば反射律は、a = a が成り立つことを要求します。
今回未定義と言っているものは、これを満たしますか？

1/0 は、1/0 = 1/0 を満たします。（満たすようなルールを決められます）
だからこそ、1/0 ≠ 0 であると言えるのです。

単に「実数ではない何か」では、それがいくつあるのか、互いの関係、などが不明なのです。

> 片方が実数で片方が実数でないなら、明らかに同じじゃないですよね。

そうとは限りません。
1/2 が分数で、0.5 が小数だからと言って、両者が違うでしょうか？
明らかに同じじゃないというのは、同じとした場合に矛盾が生じる場合に使うべきです。

a^(-1) を未定義としても第一式を満たすというのなら、a^(-1)=0 としても第一式を満たします。
つまり、第一式だけでは両者の区別は付きません。
同じ結果をもたらすなら、両者は同じと考えるのが普通です。
それでも違うと言いたいのなら、違う結果が出るものを考えなければなりませんね。

回答ありがとうございました。