a^0=1 の証明 ...

質問

２つの前提を置く。（a^p, a^qは実数）
a^p a^q = a^(p+q)
a^(-1) ≠ 0

a^0 に対して、次の関係式が成り立つ。
a^0 a^0 = a^0 より a^0 (a^0 - 1) = 0
よって、a^0 は 0 または 1 である。

次に、a^1 ≠ 0 と a^1 = 0 とに分けて考える。
ただし、a^1 は実数とする。

a^1 ≠ 0 であるなら
a^1 a^0 = a^1
により a^0 = 1 である。

a^1 = 0 ならば
a^(-1) a^1 = a^0
a^(-2) a^1 = a^(-1)
であるから
a^0 = 0, a^(-1) = 0, …
となるが、この結果はもう一つの前提に反する。
これは a^0 = 0 を許しているからであり a^0 = 1 とすれば
a^(-1) × 0 = 1
により a^(-1) が未定義となるので回避される。

以上により、a^0 = 1 であることが証明された。

…で良い？

回答No.24

alice_44 · ベストアンサー

←No.22 補足
＞ 指数関数の拡張としてはそうするしかない
＞ と言えるのではないですか？

そのとおり。言えます。
それが当に、「a^0=1 は必要条件」ということです。
「指数関数の拡張としてはそうするしかない」すなわち
他に候補は無い…ということは正しく示されました。

そのことと、だからそう定義して矛盾なく拡張できる
ということは、全く別の話です。T=-1 が実数 T の
存在証明にならなかったことを、思い出しましょう。

十分性について、貴方は No.8 補足の定義を挙げています。
それに従えば、0^0=1 の根拠は「そう定義したから」です。
定義に、そう明記してあるんですからね。

質問文中の証明は、a^(-1) を使用していますから、
a=0, p<0 のとき a^p が未定義であるような定義の下では、
a=0 の場合に適用することはできません。

No.8 補足の定義によれば、
0^0=1 は、質問の証明とは関係なく、
単に定義にそう書いてあるから成り立つのです。
a>0 のとき指数法則から a^0=1 が導かれるのとは、
理由が違います。

お礼

ここまで来ると、もう納得するしかありませんね。

> そのとおり。言えます。
> それが当に、「a^0=1 は必要条件」ということです。
> 「指数関数の拡張としてはそうするしかない」すなわち
> 他に候補は無い…ということは正しく示されました。

これが私の意図を正しく表しているでしょう。

> 十分性について、貴方は No.8 補足の定義を挙げています。
> それに従えば、0^0=1 の根拠は「そう定義したから」です。
> 定義に、そう明記してあるんですからね。

0^0=1 とするためには、そう定義しなければならない。
多分、それも正しいことです。
指数法則と 0^0 以外の値を元にして、0^0 は決定できないのですから。

> 質問文中の証明は、a^(-1) を使用していますから、
> a=0, p<0 のとき a^p が未定義であるような定義の下では、
> a=0 の場合に適用することはできません。

私は a^0=1 となる関数を定義したつもりはなく、前提に矛盾しない関数を定義するなら、a^0=1 とならなければならないという証明をしてたつもりです。
それが、前提の式だけで a^0=1 が証明されたと受け取られたなら、書き方が悪かったのでしょうね。

回答ありがとうございました。

回答No.16

nag0720

No.13です。

＞連立方程式において、すべての変数が実数値であることは普通に前提にすると思います。

変数はそうですが、a^(-1) は変数ではなく式です。
御自分でも言っていますが、a^(-1)は実数とは限らないんですよね。

確かにa^(-1),a^(-2),・・・が実数なら、a^0=0　となります。
しかし、a^(-1),a^(-2),・・・が実数でない場合でも、実数でない数の乗算が定義されていない以上、a^0=0　としても問題ありません。

つまり、
「a^0=0　かつ　a^(-1),a^(-2),・・・・は実数ではない」
としても、どこにも矛盾はでてきません。
a^(-1) ≠ 0 　の前提にも反していませんから、
a^0=0　も解として成立することになります。

お礼

＃１４のお礼にも書きましたが、二元方程式で求められることに気が付きました。

a^(-1) a^1 = a^0
a^(-1) a^0 = a^(-1)

a^1 = 0 ですから、a^(-1) が実数なら a^0 = 0 となります。
a^0 = 0 ですから、a^(-1) が実数なら a^(-1) = 0 となります。
つまり、a^0 = 0, a^(-1) = 0 はこの方程式の解であることが分かりました。

ただし、どういう時に実数と仮定するかという問題が残っていますので、返信を続けます。

> 変数はそうですが、a^(-1) は変数ではなく式です。
> 御自分でも言っていますが、a^(-1)は実数とは限らないんですよね。

私たちは、方程式の解き方として、次のような方法を教えられた筈です。
x^4 + 2x^2 + 1 = 0
A = x^2 と置き
A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2 = 0
A = -1 と求まるので、A = x^2 に代入し
x^2 = -1
x が実数とされてるなら解はなし、複素数とされてるなら x = ±i です。

式だろうと変数だろうと、都合の良い仮定を置いて良いんです。
それで解いた後、元の仮定を満たすならそれが解ですし、満たさないなら解でないというだけです。

> a^(-1),a^(-2),・・・が実数でない場合でも、実数でない数の乗算が定義されていない以上、a^0=0　としても問題ありません。

> a^(-1) ≠ 0 　の前提にも反していませんから、
> a^0=0　も解として成立することになります。

a^(-1) ≠ 0 はどうやって証明するんですか？
実数でない数との比較が定義されていない以上、反していないとは言えません。

回答ありがとうございました。

回答No.15

jmh

#8> ∧(x, y) = {
#8> x^y | x > 0,
#8> 0 | x = 0, y > 0,
#8> 1 | x = 0, y = 0,
#8> 未定義 | x = 0, y < 0 }

つまり、定理「ｘ∧０＝１ (ｘ＞０)、０∧０＝１と定義すると、ｘ∧０＝１」だね。
良いと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.14

alice_44

←A No.12 補足
a^0 が存在するとすれば、その値は 0 または 1 に限られる。
a^0 = 0 の場合は、…
a^0 = 1 の場合は、…
という構成では、
前提を満たす a^p が p = 0 について定義できないような
(貴方の言葉で言えば「実数でない」)場合が抜けているから、
場合分けを尽くしていません。

結局、貴方が証明したことは、
前提を満たす a^p が存在するかどうかは(a, p の値次第で)
サダカではないが、a^0 が存在する場合には a^0 = 1 だ
ということです。

貴方が証明したことは、(A∧B)⇒C であって、C ではない
…というのは、そういう意味。前提が成立するかどうかは
度外視されているのです。その点を間違えなければ、
(A∧B)⇒C の証明としては、質問文中のものは正しい
と思います。A No.5 に書いたとおりです。
A No.13 の論点については、数学的帰納法で対応できますね。

意見の一致については、やはり、少し違うのかも知れません。
私が繰り返し言っていることは、「a^1 = 0, p = q = 0 では
前提の第一式が成立するから、質問の証明は正しい」ではなく、
「a^1 = 0, p = q = 0 のとき前提の第一式が成立するとすれば、
(そのような a^p の定義においては)質問の証明は正しい」です。
命題 (A∧B)⇒C と命題 C の区別がついていれば、両者の違いは
判るはずです。

お礼

> 前提を満たす a^p が p = 0 について定義できないような
> (貴方の言葉で言えば「実数でない」)場合が抜けているから、
> 場合分けを尽くしていません。

それを考える必要はありません。

たとえば、次の式を考えます。
x + 2 = 5

すぐ x = 3 と答えると思いますが、それはxが実数なら
x = 5 - 2
と変形できるからです。
もし、xが実数でないとするなら、実数でしか定義されていない法則は使用できないのに。

あるいは、次の式を考えます。
x^3 = 8

xを実数と仮定するなら、x = 2 となります。
複素数が許されるなら、x = -1 ± i√3 も答ですね。
でも、もっと違う数の体系を考えるなら？

数学で方程式の解を求めるのは、決められた数の集合の中で、その方程式に合致する数を探すことです。
実数でないと仮定した計算に意味はありません。（実数でないと結論するのは意味があります）

> 結局、貴方が証明したことは、
> 前提を満たす a^p が存在するかどうかは(a, p の値次第で)
> サダカではないが、a^0 が存在する場合には a^0 = 1 だ
> ということです。

「a^0 が存在する場合には a^0 = 1」は「実数解が存在するなら a^0 = 1」ですね。
でもそれって、実数解の存在を証明してるじゃないですか。

> A No.13 の論点については、数学的帰納法で対応できますね。

単なる二元方程式だと気付きました。
a^(-1) a^1 = a^0
a^(-1) a^0 = a^(-1)
a^1 = 0 なら a^0 = 0, a^(-1) = 0 となります。

> 「a^1 = 0, p = q = 0 のとき前提の第一式が成立するとすれば、
> (そのような a^p の定義においては)質問の証明は正しい」です。

第一式の成立は指数関数であるための条件ですから、
指数関数を拡張するなら a^0 = 1 でなければならないという意味になります。
それは十分な成果ではないですか？

回答ありがとうございました。

回答No.13

nag0720

No.9です。

＞a^(-1) a^1 = a^0
＞という式での a^(-1) の実数解は存在します。
＞むろん、この式だけでは不定ですが、連立方程式ですから求められるのです。

a^(-1)が実数なら、a^0=0
a^(-2)が実数なら、a^(-1)=0
a^(-3)が実数なら、a^(-2)=0
a^(-4)が実数なら、a^(-3)=0
・・・・・
ということですか。

無限元連立方程式ですね。

全ての有限個で成立するからと言って無限でも成立するとは限らないことは当然知っているとは思います。
安易に無限という言葉や「・・・・・」という表現を使わないで、厳密に無限元連立方程式を定義してから解くことはできませんか？
それができない以上、a^0=0, a^(-1)=0, …　となるとは言えないと思うのですが。

お礼

> 全ての有限個で成立するからと言って無限でも成立するとは限らないことは当然知っているとは思います。

連立方程式において、すべての変数が実数値であることは普通に前提にすると思います。
そうでなければ、何も計算できませんからね。
そして前提は、結果を求めた後、それが元の連立方程式を満たすなら、正しかったことになるのでは？

今回求めた a^0=0, a^(-1)=0, … という値も、元の式を満たします。

ちなみに、ここでの質問で数学的な厳密さを求めてはいません。
ここでの回答者が気付くような誤りがなければ良いのです。

回答ありがとうございました。

回答No.12

alice_44

←A No.10 補足
＞　値域は実数です。
＞　何々が実数ではないというのは、その部分が定義域でないこと
＞ （定義できないこと）を明確にしてるに過ぎません。

その話と、
A No.2 補足の
＞　> じゃあ、0^(-1) はなに？
＞　実数じゃないとは言えるでしょうね。

を併せると、
a=0, p=-1 は、前提を満たす a^p の定義域には含まれない
ということになる。

A No.5 で最初から
＞　ただし、二つの前提
＞　a^p a^q = a^(p+q)
＞　a^(-1) ≠ 0
＞　が成立するような a,p,q の範囲に限っては。

と書いているが、
前提が成立しないような p, q, r の例として a=0, p=-1 が在って、
a, p, q には何でも代入できる訳ではない
ということが判る。それを踏まえた上で、
＞　良い。
＞　ただし、二つの前提
＞　a^p a^q = a^(p+q)
＞　a^(-1) ≠ 0
＞　が成立するような a,p,q の範囲に限っては。

意見が一致して、良かった。

お礼

> 意見が一致して、良かった。

意見が一致しないのは、最初から以下の部分ではないですか？

＃５
> 例えば、a = 0 の場合は、
> p = -q ≠ 0 で前提の第一式が成立しないから、
> 貴方の証明には当てはまらない。

a^0=0 の場合は（第二式には反するが）第一式は成立する。
a^0=1 の場合は p = -q ≠ 0 で前提の第一式が成立しない。
それをちゃんと証明の中では使い分けているつもりです。

ただし、意見の一致を「a^1=0, p=q=0 では前提の第一式が成立するから、私の証明は正しい」と受け取るならば、意見は完全に一致したと言えるでしょう。

回答ありがとうございました。

回答No.11

alice_44

参照ミスがあった。

A No.2 補足に「0^-1 は実数でない」などの記述が見られるが

回答No.10

alice_44

←A No.7 補足
私が回答に書いていないことを、さも書いたかのように
補足に注釈することは、フェアでないし、論理的でもない。

A No.5～7 を読めば、0^1 や a^1 の値とは関係ない話
であることが、普通は読み取れるはず。
私が書いているのは、貴方が、事実として何を証明し、
何を証明しなかったかだけだ。

質問文中の証明は、((前提第一式)∧(前提第二式))⇒(a^0=1)
という命題の成立を示している。
貴方が証明したものは、(A∧B)⇒C であって、C ではない。
そこに、前提の式が成立することの証明は添えられていない。
単純明快な話でしょう？

あるいは、前提第一式は a^p の定義(または、その一部)
なのだと言いたいのであれば、そのような定義を満たす
a^p が存在するのか、存在したとして、それはどんなものか
を述べなければ、そこから先は意味が無い。ただ単に
(A∧B)⇒C が示せただけだ。[1]

A No.4 補足あたりに「0^-1 は実数でない」などの記述が
見られるが、a^p をそのように定義しようというのであれば、
更に困ったことが起こる。a^p の値域が実数や複素数でない
とすると、それはどういう数の体系か？
a^p a^q = a^(p+q) の左辺に見られる乗算(らしきもの)は、
いったいどういう演算で、除法などはどう成り立つのか。
そこが明確にならないと、質問の証明に現れる式変形が
正しいのか正しくないのかも判定しようがない。[2]

よく似ていると思われる「証明」を、ひとつ挙げてみる。
S = 1 + 1 + 1 + … と置くと、S = 1 + S が成り立つ。
よって、S = 0 が求められる。
この「証明」も、[1] [2] の問題点を含んでいる。

ところで、裏を返せば、まだ言及されていない前提の成立を
示すことができれば、a^0 = 1 の成立を示すこともできる。
それは、まだ示されていないだけで、貴方の証明によって
否定された訳ではない。a^p の定義を明確にし、その上で
前提の成立を示せば、まさに貴方の証明によって a^0 = 1
の成立が示される。

前提が成立するような a^p の定義を詰める経過で、
その記号の意味するものが、普段我々が a^p と書いている
ものとは別のものであることが明らかになるのではあるが…
それもまた、今回の話とは別件だろう。

お礼

> 質問文中の証明は、((前提第一式)∧(前提第二式))⇒(a^0=1)
> という命題の成立を示している。
> 貴方が証明したものは、(A∧B)⇒C であって、C ではない。
> そこに、前提の式が成立することの証明は添えられていない。

数学は公理という前提を置いて、それによって何が証明されるかを考える学問ですからね。
前提を証明しなければ結果に意味が無いという態度は誤りでしょう。
ただし、前提を元にして矛盾が生じるなら意味が無いですけど。

ところで、前提にする式のどちらかに問題があると言いたいのでしょうか？
第一式は指数関数を定義するとしたら満たさなければならない条件ですし、
第二式はa^(-1)を逆数と考えれば満たされる条件です。
問題がある前提だとは思いません。

> あるいは、前提第一式は a^p の定義(または、その一部)
> なのだと言いたいのであれば、そのような定義を満たす
> a^p が存在するのか、存在したとして、それはどんなものか
> を述べなければ、そこから先は意味が無い。

a^1=a と置くと、第二式がなければ、
a^p = {a^p | a > 0, 0 | a = 0}
となります。第二式も満たすには、＃８で書いたように定義する必要があります。
この場合、結果として未定義は認められないので、未定義となっている部分は定義域ではありません。

> A No.4 補足あたりに「0^-1 は実数でない」などの記述が
> 見られるが、a^p をそのように定義しようというのであれば、
> 更に困ったことが起こる。a^p の値域が実数や複素数でない
> とすると、それはどういう数の体系か？

値域は実数です。
何々が実数ではないというのは、その部分が定義域でないこと（定義できないこと）を明確にしてるに過ぎません。

> a^p a^q = a^(p+q) の左辺に見られる乗算(らしきもの)は、
> いったいどういう演算で、除法などはどう成り立つのか。

乗算は乗算ですし、加算も加算です。
a^p, a^q は実数だとしているので、通常の乗算が成立します。
除算は式の変形には使っていないと思います。使っているのは分配法則でしょう。

> S = 1 + 1 + 1 + … と置くと、S = 1 + S が成り立つ。
> よって、S = 0 が求められる。

S は実数でないことが分かります。
それと矛盾する S=0 は結果として認められません。

以降の部分は、繰り返しになりそうなので返答を省略します。

回答ありがとうございました。

回答No.9

nag0720

＞> じゃあ、0^(-1) はなに？
＞実数じゃないとは言えるでしょうね。

0^(-2)や0^(-3)なども実数ではないということですね。

a=0で、pまたはqがマイナスの場合は、a^pまたはa^qは実数ではないから、

＞a^p a^q = a^(p+q)

という前提には含まれていないんですね。

であれば、

＞a^1 = 0 ならば
＞a^(-1) a^1 = a^0
＞a^(-2) a^1 = a^(-1)

という式は、a=0のとき成立するとは言えないのでは？

お礼

＞＞a^1 = 0 ならば
＞＞a^(-1) a^1 = a^0
＞＞a^(-2) a^1 = a^(-1)
＞
＞という式は、a=0のとき成立するとは言えないのでは？

a^1 = 0
a^0 = 0
の両方を仮定します。

a^(-1) a^1 = a^0
という式での a^(-1) の実数解は存在します。
むろん、この式だけでは不定ですが、連立方程式ですから求められるのです。

そうやって求めた
a^1 = 0, a^0 = 0, a^(-1) = 0, ...
はすべて実数であり、前提とした式が成立しなければならないことが分かります。
ただし、この解は a^(-1)≠0 に反します。

今度は
a^1 = 0
a^0 = 1
と仮定してやると
a^(-n) a^n = a^0
によって a^(-1), a^(-2), ... が実数でない（未定義である）ことが分かります。
この解は a^(-1)≠0 を満たします。

以上で説明になっているでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.8

jmh

この前提を満足するような関数∧：Ｒ×Ｒ→Ｒ（（ｘ，ｙ）→ｘ∧ｙ）は存在するのでしょうか？

お礼

関数∧を
∧(x, y) = {
x^y | x > 0,
0 | x = 0, y > 0,
1 | x = 0, y = 0,
未定義 | x = 0, y < 0 }
と置くと、前提を満たすのではないですか？

回答ありがとうございました。

回答No.7

alice_44

＞ 第一式が使えるかどうかは、a の値とは無関係です。

いんや、貴方は、そのことを証明してはいない。
第一式は、証明したのではなく、前提とした
のだから、第一式が成り立つような a,p,q に
対してだけ、貴方の証明の結論は成り立つ。

お礼

たとえば 0^1=0 だと考えていませんか？
前提には a^1=a という式はありませんよ。

a^p が a=0 でどういう値になるかは、現時点では不明です。
a と a^p の間に関係性がないのですから、証明するまでもなく無関係です。

私は a^1 をどう定義しようとも、a^0=1 となることを証明したつもりです。
そうしないと、0^(-1)=1/0 だと勝手に言い出されると考えたからです。

回答ありがとうございました。