同値関係であることの証明

質問

次の問題があります。

任意の集合Ａがあり、ＰはＡの分割(Partition)である
Ａ上（に対する）関係Ｓの定義は
S={(x,y):Pの要素となるＢが存在し、x,yはＢの要素である}

Ｓが同値関係であることを証明しなさい

分割、同値関係の意味は理解しています。
しかし、証明となるとわかりません

具体例を考えると簡単なのですが、一般的な証明ができません。

どなたか分かる人いますか。

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

証明に慣れてないということでしょうか。
＃1さんの(1)だけやってみますね。

(1)任意のx∈AについてxSxであることの証明：

PがAの分割であることにより、任意のx∈Aについて、Pの中に
x∈Bである集合Bが存在する。

ここで(x,x)をとると、「Pの要素であるBが存在し、
(左側の)xも(右側の)xもBの要素である」ことが言える。

よって(x,x)は、関係Sの条件を満たすことにより、xSxが言える。

証明終わり。

2番も3番も同じような感じでやってみてください。
書いていて「あたりまえじゃないか」と思うかもしれませんが、
あたりまえの事を連ねて書くのが証明の作法なので、これは慣れです。

回答No.1

Mell-Lily

関係Rが、同値関係であるためには、
　1. xRx
　2. xRy⇒yRx
　3. xRy,yRz⇒xRz
の、三つの条件が成り立つことが必要十分です。したがって、A上の関係Sが、これら三つの条件を満たすことを確認すればいいわけです。