a・0=0の証明

質問

単純なんですが分からず悩んでます・・

任意のaに対してa・0=0を証明するにはどうすればいいでしょうか？

a+x=aを満たすxが0であるという定義から導けますか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>#1
公理じゃないよ・・
少なくとも
環の公理や加群の公理には含まれません．

＞a+x=aを満たすxが0であるという定義から導けますか？
正確にかけば
ある要素xが存在して
それは任意のaに対して，a+x=aを満たす
ということです．

さて。。。
a0= a(0+0)= a0 + a0
だから，a0=0

ここで，以下のことに注意．
分配法則・結合法則は自由に使っていいことにする．
また，逆元の存在，乗法単位元の存在も仮定する．
(1) 0+0=0であること．
0は任意の要素aに対して，a+0=aなのだから
a=0とすればよい．
(2)ある要素AがA+A=Aを満たすならば，A=0であること
A+A=A
(A+A)+(-A)=A+(-A)
A+(A+(-A))=A+(-A)
A+0=0
A=0

お礼

なるほど！簡潔でわかりやすいですね。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#101087

ふつうの算術で、a*0 = 0 は「天下り」。
　　　↓
-----------------------------
　http://ja.wikipedia.org/wiki/0#.E6.95.B0.E5.AD.A6.E7.9A.84.E3.81.AB.E3.81.8A.E3.81.91.E3.82.8B_0_.E3.81.AE.E4.BD.BF.E7.94.A8
>数学的における 0 の使用 [編集]
初等代数学 [編集]
.............
加法: x + 0 = 0 + x = x. つまり 0 は加法に関する中立元である。
減法: x - 0 = x and 0 - x = -x.
乗法: x * 0 = 0 * x = 0.
除法: x が 0　でなければ 0/x = 0 である。しかし .........
-----------------------------

>a+x=aを満たすxが0であるいう定義 ....
　　　↓
　a-a = x = 0
　　　↓
　a*0 = a*(a-a) = a*a - a*a = 0

でも、これって「証明」なのですかね。
途中で、配分則などを勝手に使ってますけど。

お礼

ありがとうございます。この方法はわかりやすいです。

回答No.4

at9_am

何かの課題のようなので概略だけ。

任意の定数 a>0 にたいして f=a×x を考える。
x →+0 のとき、f→+0
x →-0 のとき、f→-0
であるから、極限から a×x が x=0 で連続であれば f=0 である。
一方で f'=a であるから、f = a×x は明らかに x=0 で連続である。
したがってa・0 = 0である。

お礼

ありがとうございました。
関数で考えると0の加減乗除に応用が利きそうでいいですね

回答No.3

kiwa67

以下でどうでしょう。

まず、N を自然数、I を整数と仮定する。
自然数に対して、
a・N を以下に定義する
a・1 = a
a・(N+1) = a・N + a
上記２つにより、自然数に対する
a・N
が定義できます。

次にこの定義を整数に拡張します。
上記の２番目の定義は、
a・I = a・(I+1) - a
とかけますので、
　 a・0 = a・1 - a
= a -a
となります。

a+x=aを満たすxが0であるという定義から、a - a は、０になります。
つまり、a・0 は０です。
----

お礼

ゼロの定義から導けるんですね！ありがとうございます
ただこれは実数にも拡張できるのかな

回答No.1

pasocom

そういうのは証明するまでもなく、あらゆる計算の前提として無条件に認められている前提（これを「公理」といいます）であって、証明する必要もないし、証明することもできないことだと思います。
参考にWIKIPEDIA「公理」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86

お礼

うーん確かにそうですよね。でも、課題なんですよね・・・
ありがとうございました。