直交変換の証明

質問

直交行列Ａの表す直交変換をfとして、ベクトルp,qのfによる像をそれぞれ
p',q'としたとき
p'・q'=p・q
と
pとqのなす角とp'とq'のなす角を等しいことを証明したいのですが・・。
うまく左辺と右辺の関係を式に出来ずに進めません。
どう証明していけばいいのでしょうか？
よろしくお願いします！

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

^*は転置(直交行列をユニタリ行列おきかえると共役転置)

p'=A・pかつq'=A・qであるから
(p',q')=(A・p,A・q)=(A・p)^*・(A・q)=p^*・A^*・A・q=p^*・(A^*・A)・q=p^*・q=(p,q)
ここでAは直交行列だからA^*・A=E(定義)であることを使った。
なお
pとqのなす角の余弦は(p,q)/√((p,p)・(q,q))
p'とq'のなす角の余弦は(p',q')/√((p',p')・(q',q'))