微積分の問題についてです

質問

f(x)=1/cosh^2(x)のグラフの概形を求める計算過程を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.2

yyssaa

coshx={e^(x)+e^(-x)}/2
cosh^2(x)={e^(x)+e^(-x)}^2/4={e^(2x)+e^(-2x)+2}/4
f(x)=1/cosh^2(x)=4/{e^(2x)+e^(-2x)+2}
f'(x)=-8{e^(2x)-e^(-2x)}/{e^(2x)+e^(-2x)+2}^2
f'(0)=0、f(0)=1
e^(2x)-e^(-2x)=0からf'(0)=0、e^(2x)-e^(-2x)＞0からx＞0で
f'(x)＜0、x＜0でf'(x)＞0、f(0)=1だから、この曲線は
x＜0で増加曲線、点(0,1)が極大値、0＜xで減少曲線、常に正で
x→±∞で限りなく0に近づく。その形状は以下の通り。
f''(x)=[-8{2e^(2x)+2e^(-2x)}{e^(2x)+e^(-2x)+2}^2
+32{e^(2x)-e^(-2x)}{e^(2x)+e^(-2x)+2}{e^(2x)-e^(-2x)}]
/{e^(2x)+e^(-2x)+2}^4
=[-16{e^(6x)+4e^(4x)+7e^(2x)+8+7e^(-2x)+4e^(-4x)+e^(-6x)}
+32{e^(6x)+2e^(4x)-e^(2x)-4-e^(-2x)+2e^(-4x)+e^(-6x)}]
/{e^(2x)+e^(-2x)+2}^4
=[16{e^(6x)-9e^(2x)-16-9e^(-2x)+e^(-6x)}]/{e^(2x)+e^(-2x)+2}^4
e^(2x)=tとおくと
e^(6x)-9e^(2x)-16-9e^(-2x)+e^(-6x)=t^3-9t-16-9/t+1/t^3
これをg(t)とおくと
g'(t)=3t^2-9+9/t^2-3/t^4=(3/t^4)(t^6-3t^4+3t^2-1)
=(3/t^4)(t^2-1)^3なので
t=±1でg'(t)=0、-1＜t＜1でg'(t)＜0、t＜-1及び1＜tで0＜g'(t)
となるがt=e^(2x)＞0なので、0＜t＜1でg'(t)＜0、t=1でg'(t)=0、
1＜tで0＜g'(t)となり、g(t)は0＜t＜1で減少、t=1で極小値
g(1)=-32となり、1＜tで増加する。
g(t)=t^3-9t-16-9/t+1/t^3=(t+1/t)^3-12(t+1/t)-16
={(t+1/t+2)^2}(t+1/t-4)=0、t+1/t+2≠0からt+1/t-4=0を解いて
t=2±√3となるので、g(t)はt=2±√3でg(t)=0、0＜t＜2-√3及び
2+√3＜tで0＜g(t)、2-√3＜t＜2+√3でg(t)＜0
よってf''(x)は、e^(2x)=2±√3でf''(x)=0、0＜e^(2x)＜2-√3及び
2+√3＜e^(2x)で0＜f''(x)、2-√3＜e^(2x)＜2+√3でf''(x)＜0
となるので、f(x)は、e^(2x)=2±√3すなわちx=(1/2)log(2±√3)
で変曲点、x＜(1/2)log(2-√3)及び(1/2)log(2+√3)＜xで下に凸の
曲線、(1/2)log(2-√3)＜x＜(1/2)log(2+√3)で上に凸の曲線になる。
変曲点のf(x)の値はf(x)でe^(2x)=2±√3とおくと、2/3が得られる。
参考までにlogの概算数値を用いるとこの曲線のは、おおよその形は、
x=-∞からx軸の上側を下に凸のカーブでゆっくり上昇し、点(-0.66,2/3)
を変曲点とした上に凸のカーブで上昇を続けて点(0.1)を極大点
として減少に転じ、y軸を対称軸としたカーブでx=∞まで減少する
曲線になる。

回答No.1

ask-it-aurora

手順はいろいろあるでしょう. 僕ならどう描くかを書いてみます.

[1] 直線 x = 0 対称
cosh(x) = (exp(x) + exp(-x))/2 から cosh は直線 x = 0 に関して対称なので, もとの関数 f のグラフのそうです.

[2] f(0) = 1, lim f(x) = 0 as x → ±∞
計算すればでます.

[3] x > 0 のとき単調減少, x < 0 のとき単調増加
対称性から片側を示せば十分です. x > 0 のとき cosh は単調増加なので, もとの関数 f は単調減少です.

[4] f(x) ~ 1 - x^2 if |x| << 1 (オマケ)
テイラー展開するだけです.

サラッとやるときは手順[1]--[3]を頭のなかで済ませて概形を描くと思います. もうちょっとだけ精密な形が知りたいときは[4]にあるようにテイラー展開を計算してみるかな？ もっと精密に知りたければコンピュータに任せた方が適任でしょう.