積分の問題です

質問

aは正の実数
0~x~π/2
y=acosx ,y=sinx ,x軸で囲まれる面積をaを用いて表しなさい

という問題です。

計算の過程と答えを教えてください＞＜

回答No.2

info22_

y=sin(x)とy=a*cos(x)の交点のx座標をb(0<b<π/2)と置く。
sin(b)=a*cos(b) → tan(b)=a → b=tan^-1(a) → cos(b)=1/√(1+a^2)

面積S=∫[0,b]sin(x)dx+∫[b,π/2] a*cos(x)dx
　=1-cos(b)+a*(1-sin(b))
　=1+a-cos(b)-a^2*cos(b)
　=1+a-(1+a^2)cos(b)
　=1+a-√(1+a^2)

お礼

回答ありがとうございます！
とてもわかりやすいです^^

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
以下、考え方を簡単に。

まずはグラフを描いてみてください。
すると、2つの曲線は必ず 0≦ x≦ π/2で交わります。

当然、面積を求める積分はこの交点を境としたものになります。
そこで、交点の x座標を x＝αとおきます。
交点ですから、y座標に関する関係式が得られます。

そして、面積を「とりあえず」 aと αを用いて表します。
上で求めた関係式ともう一つ「sinαとcosαの基本的な関係式」を用いれば、
αを消去することができます。

計算というよりも、ちょっと工夫のいる問題ですね。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます＾＾
なんとか解けました！