積分に関する問題で質問です。

質問

積分に関する問題で質問です。

xy平面内に３点Ａ（１、０）Ｂ（０、１）Ｃ（２、１）が与えられている。点Ｐは線分ＢＡ上を、点Ｑは線分ＡＣ上を、同時にそれぞれＰはＢを出発してＡまで、ＱはＡを出発してＣまで、同じ速さで進むものとする。このとき、線文ＰＱが覆う図形をＦとする。

(1)図形Ｆとx＝ｋとの交わりである図形の長さＬ（ｋ）を求めよ。

(2)図形Ｆの面積を求めよ。

図形Ｆがどのような過程によってどのような概形になるのかさっぱり分かりません。
どのような考え方でこの問題を解いていくのか教えていただけますか？

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

図形Fは添付図のようになります。
放物線：y=(1/2)x^2 -x+1 (0<=x<=2)…(A)
辺AB: y=1-x(0 <=x<=1)
辺AC：y=x-1 (1<=x<=2)
で囲まれた領域（境界を含む）の図形です。
P(t,1-t), Q(t+1,t) (t=0～1)とおくと
線分PQ：y-2tx+x+2t^2 -1=0 (t<=x<=t+1)…(B)
(B)をtで微分して 2(2t-x)=0 ∴t=x/2…(C)
(C)を(B)に代入してtを消去すれば(B)の包絡線の曲線の方程式
(A)が求まる。

(1)
0<=k<=1のとき　L(k)=(1/2)k^2
1<=k<=2のとき L(k)=(1/2)k^2-2k+2

(2)
図形Fは直線x=1について対称なので半区間積分して2倍すればよいので
Fの面積S=2∫[0,1] (1/2)x^2 dx
　　　　　　=[(1/3)x^3]{(x=1)
　　　　　　=1/3

回答No.2

alice_44

普段、グラフを眺めて考える癖にしていると、こういう問題は難しいかもしれない。
先に計算することによって、図形が見えてくるような問題だから。

ＰとＱの「同じ速さ」が具体的に指定されていないが、
距離や時間のスケールも明示されてないから、テキトーに決めて構わない。
ＢＡ＝ＡＣ＝√2 だから、速さ √2 とすると簡単そうだ。

ＰとＱが、時刻 t=0 から t=1 までの間移動すると置く。
ＰとＱの座標を時刻 t でパラメータ表示することはできるね？
両端の座標が判れば、線分ＰＱの式を t の入った方程式で表すことも。
その式に x=k を代入して、交点の y 座標の最大と最小を 0≦t≦1 の範囲で求めれば、
Ｆを x=k で切った断端の線分の長さ L(k) が k の式として求まる。
それを k で積分すれば、Ｆの面積が出る。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
具体的に、線を何本か描いてみれば図形Ｆのイメージは湧くかと。＾＾

考え方を以下に。
・まず、3点 A, B, Cは図示して、位置関係を把握しましょう。
（やっているとは思います。＾＾）

・直線ＢＡは傾き -1、直線ＡＣは傾き 1となっているので、
「同じ速さで進む」＝「x座標の進み方も同じ」となります。

・上の内容から、点Pが x＝ tまで進んだとすると、点Qは x＝ 1+ tまで進むことになります。
よって、そのときの y座標もわかることになります。

・直線PQの方程式を書き下します。
それを変形すると、tの 2次方程式に書き表すことができます。

・tについては 0≦ t≦ 1という条件があるので、そのような tが存在する条件
（2次方程式の解としての条件）を考えれば、直線上の点 (x, y)の存在領域が求まります。
当然のことながら、三角形ABCの内部（周も含む）に限られていますね。

tの 2次方程式から考えるところは、少し前に出された以下の質問が参考になると思います。
http://okwave.jp/qa/q6356727.html

最後に、図形Ｆは上がへこんだ形（そこは直線が通らない）となります。
そのへこんでいる形は、上の内容からきちんと関数として与えられます。
出てくる関数自体は難しくないので、計算はやさしいと思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6356727.html