不定積分の問題で

質問

∫（(1/x)+logx）e^x dx　（log xは自然対数が底である。）を部分積分や置換積分をやってもうまくいきません。
どのようにしたら解けますか？

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

(uv)' = u'v + uv'の公式を使えば
{(log x)e^x}' = (1/x)e^x + (log x)e^x
左辺は積分したい関数ですね。
したがって積分は
(log x)e^x　＋C
Cは積分定数です。
このように(log x) = 1/x
を知っていたら直ぐ
(log x)e^x　の微分を考えてみるのも大切です。
（そのものが積分になっていますね。一般の場合は定数など多少調整することが多いですね。）

こういった思い付きができ無い場合は被積分関数を2項に分けて,
第1項に部分分数展開の公式
∫uvdx = {∫udx}v - ∫{∫udx}v'dx
を適用して見てください。
u = 1/x, v=e^x とおけば
∫(1/x)e^x dx = {log x}e^x - ∫{log x}e^x dx
となりますね。
右辺の第2項を左辺に移動してみてください。
∫(1/x)e^x dx +∫{log x}e^x dx = {log x}e^x
左辺は求める積分を2項に分けただけの形になっていますね。積分を合体して共通の e^xで括れば求める積分の式で右辺が積分結果になっています。
積分定数Cを足せば求める積分結果になりなす。

ご自分で式を追って確認してみてください。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

部分積分そのものです

\int e^{x} (1/x) dx
=e^{x} log(x) - \int e^{x} log(x) dx

です．

お礼

回答ありがとうございました。