対数関数と微分積分

質問

対数関数と微分積分
対数関数でlog x＝1/xと言うのは決まり文句ですか。
log 2＝1/2ですか。
後、微積で4x^3＝x^4と言うのは積分するとa^nのnが消えaが指数になるのですか。

最後に
∫1/x・x^4
　　↓
∫x^ 3 dx
　　↓
1/4+Ｃになった理由を教えて下さい。
問題の式は∫4x^3log x dxです。

回答No.2

FT56F001

>対数関数でlog x＝1/xと言うのは決まり文句ですか。
(d/dx)(log x)=1/x あるいは ∫1/x dx = log(x) は公式です。
だけどlog x =1/xではありません。

>微積で4x^3＝x^4と言うのは積分するとa^nのnが消えaが指数になるのですか。

∫4x^3　dx = x^4という変形は，
∫x^n　dx = {x^(n+1)}/(n+1)という公式で，
n=3とおき，全体を4倍したものです。

∫ax^n dx = x^a は一般には成り立ちません。
成り立つのは，a=n+1の場合だけです。

数学の問題を解くときには，
(天才でない限り)フィーリングや思いつきではなく，
教科書と計算用紙を手元において，
教科書のどの公式に入れて変形しているのか，
を一歩ずつ確認しながら勉強して下さい。
いい加減なやり方で，ゴマかしながら進んでいると，ホントに何も分からなくなりますよ。

[以下，独り言]
数学の細かい計算が必要な職業に就くかどうかは別にして，
「一歩づつ，地道に確認しながら，几帳面に仕事する」
という態度は，社会に出てからも必要なことです。

回答No.1

info22_

>対数関数でlog x＝1/xと言うのは決まり文句ですか。
間違って覚えたのでしょう！

　d{log[e] x}/dx＝(log[e] x)'＝1/x
が正しい。こう覚えないと駄目です。

>log 2＝1/2ですか。
ここまで来ると、勘違いもひどすぎる。

>微積で4x^3＝x^4と言うのは積分するとa^nのnが消えaが指数になるのですか。
こんな書き方「4x^3＝x^4」はひどすぎる。a^nの例えも駄目。

関数f(x)と原始関数F(x)は
　∫f(x)dx=F(x)+C ⇔ F'(x)={∫f(x)dx}'=f(x)
という関係にあります。
ここで「⇔」は等価または同値関係を表す記号です。

これに f(x)=4x^3,F(x)=x^4　と置いて見てください。

　F'(x)=(x^4)'=4x^3=f(x)　…(☆)
は分かりますか？

(☆)ば

　∫f(x)dx =∫(4x^3)dx = F(x)+C = x^4+C

と同値、すなわち(☆)の別の表現で内容は同じことを表現しているに過ぎないのです。

>最後に
>∫1/x・x^4
>　　↓
>∫x^ 3 dx
>　　↓
>1/4+Ｃになった理由を教えて下さい。
途中計算を書かないで、その途中計算の計算の変形の理由を聞いても、何を言ってるか
分かりませんよ。

>問題の式は∫4x^3log x dxです。
(x^4)'=4x^3, ∫(x^4)'dx=x^4+C なので
∫4x^3log x dx=∫{(x^4)'}log(x)dx
=(x^4)log(x)-∫(x^4){log(x)}' dx ←部分積分公式適用
=(x^4)log(x)-∫(x^4)(1/x) dx
=(x^4)log(x)-∫(x^4)/x dx
=(x^4)log(x)-∫(x^3) dx（ = I と置く）
ここで　(x^4)'=4(x^3)なので　両辺を4で割ると
　{(1/4)x^4}'=x^3 ⇔ ∫x^3dx=(1/4)(x^4) +C1　(C1は積分定数)
したがって
I=(x^4)log(x)-(1/4)(x^4) -C1
-C1=Cと置きなおすと
I=(x^4)log(x)-(1/4)(x^4) +C

となります。