微積分の問題です。

質問

微積分の問題です。
問題自体はシンプルなのですがどうしても解けなくて困っています。
以下問題です。

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問
log (∫[0,1] exp(f(x))dx) と ∫[0,1] f(x)dx の大小を比較せよ。

ただし、f(x)は閉区間 [0,1] 上の実数値の連続関数とする。
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2日ほど考えましたが撃沈しました。
どなたか解き方を教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.4

aquatarku5 · ベストアンサー

区分求積と見立てて相加相乗平均の不等式を用いる
感じではないでしょうか？

左辺
=log (∫[0,1] exp(f(x))dx)
=log(lim[n→∞]Σ[k=1～n]exp(f(k/n))/n)
=lim[n→∞]log(Σ[k=1～n]exp(f(k/n))/n)
>=lim[n→∞]log((Π[k=1～n]exp(f(k/n)))^(1/n))
=lim[n→∞]log(exp(Σ[k=1～n]f(k/n))/n
=lim[n→∞]((Σ[k=1～n]f(k/n))/n)
=∫[0,1] f(x)dx
＝右辺

極限での区分求積の収束性あたりは、厳密な証明が
必要かと思いますが…

お礼

返事遅くなってすいません。

とても分かりやすい回答ありがとうございます。
十分すぎる回答だと思います。
相加相乗平均ですか。まったく気づきませんでした…

おかげで助かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

ああ, F(x) とか G(x) とかを持ち出したところからは勘違いしてるや.... G(0) = 0 て, 何バカなこと書いてるんだ＞自分.
出直してきます.

回答No.2

Tacosan

できるかどうかは知らんけど:
これは
∫[0, 1] exp f(x) dx と exp ∫[0, 1] f(x) dx
の大小比較と等価で, さらにいうと
F(x) = ∫[0, x] exp f(x) dx と G(x) = exp ∫[0, x] f(x) dx
の 2つの関数で F(1) と G(1) を比較すればいい. F(0) = G(0) = 0 だから, F(x) と G(x) の増減を考えていけできる, かも.

補足

ありがとうございます。
似たようなことは考えてみたのですが、増減の考え方が良く分からなくて…

回答No.1

koko_u_u

じゃあ、2日間考えぬいた内容を補足にどうぞ。

補足

たいしたことはしていないですが一応。
全く分からなかったもので…

まず、２つの大小関係に目安をつけるために、適当にf(x)=xとf(x)=-xを代入してみて大小関係を調べてみました。結果f(x)>0では log (∫[0,1] exp(f(x))dx)＞∫[0,1] f(x)dx 、f(x)<0では log (∫[0,1] exp(f(x))dx)＜∫[0,1] f(x)dx になりそうな感じです。
なので
F(x) = log (∫[0,x] exp(f(x))dx) - ∫[0,x] f(x)dx
とおいて増減表か何かで判別するのかと思ったのですが、F'(x)を計算しようにも良く分からなくて…

その他f(x)は連続関数とわざわざ書かれているので、平均値の定理など使うのかと思ったのですが、この問題にどうやって使えばいいのか分からないという状況です。