積分 公式 導出

質問

積分　公式　導出

∫a^x dx =a^x/loga を導きたいのですが

どのようにすれば良いでしょうか？
おそらく、置換積分を利用すると思います。
a^x=tと置いたのですが、x=log(a)tとなり、どう進めればよいかわかりません。。。
そもそも∫a^x dx =a^x/loga のlogaは底eですよね？
底の変換公式を使うのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

a^x=e^(xln(a))　(ただしa>0,lnは自然対数)
なので

(a^x)'={e^(xln(a))}'=(xln(a))'e^(xln(a))=(ln(a))e^(xlog(a))=(ln(a))a^x

∴a^x={e^(xln(a))}'/(ln(a))=(a^x)'/(ln(a))

両辺積分して
∫a^x dx=∫a^xdx/ln(a) +C　(C:積分定数）

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。

方針は合ってますよ。
x=log(a)tで終わらずに、両辺を微分して dxを計算してみればわかると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。