次元が空間を決める？

質問

線型代数に関する質問です

n次元ベクトル空間ＶはＫ^nと同型である。特にすべてのn次元ベクトルは同型である
という定理の意味が良くわかりません

同型であるという言葉の意味がピンとこないために分からないような気がします

テストが近いので、出来るだけ早めに回答いただきたいです

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ベクトル空間が同型とはどういう意味か、
テストも近いのであれば、
教科書でちゃんと確認しておくべきです。
書いてない教科書があるとは思えません。

ベクトル空間 V と W が同型であるとは、
V から W への全単射線型写像が存在する
という意味です。

V, W が、体 K 上の n 次元空間であるとし、
V の基底 { a1,a2,…,an } と
W の基底 { b1,b2,…,bn } をとります。
{ a1,a2,…,an } が基底であることから、
V の元は、x1 a1 + x2 a2 + … + xn an
(ただし x1,x2,…,xn∈K) と一意に表せます。
各 aj を bj へ移す線型写像 f を考えると、
f(x1 a1 + x2 a2 + … + xn an) = x1 b1 + x2 b2 + … + xn bn
によって、f は V から W へ well-defined であり、
全単射線型写像であることも確認できます。
つまり、基礎体と次元が同じ線型空間は
同型であることが解りました。

特に、W として数対空間 K^n を考えれば、
K 上 n 次のベクトルは、K の元 n 個の組
で表示可能なことが解ります。
ベクトルの成分表示というやつです。

x1 a1 + x2 a2 + … + xn an と
x1 b1 + x2 b2 + … + xn bn と
(x1, x2, …, xn) とを、
単に基底ベクトルの名前を付け替えたものとして
同一視しよう…というのが、ベクトル空間の同型
の考えかたです。

お礼

詳しい回答ありがとうございます
とても参考になりました