"自然な同型(標準的同型)"の決め方はこれでいい?
"自然な同型(標準的同型)"を調べ中です。
VをF上の線形空間とする。
Dual(V):=vHom(V,F)…(1)と定義し,Dual(V)をVの双対空間と呼ぶ(vHom(V,F)はVからFへのベクトル空間準同型全体の集合を表す)。
f∈Map(V,Map(Dual(V),F))…(2) を次のように定義する。
V∋∀x→f(x)∈Map(Dual(V),F) such that Dual(V)∋∀λ→(f(x))(λ):=λ(x)
その時,f(x)はDual(V)上の線形汎写像,即ち,f(x)∈vHom(Dual(V),F)となる。
従って,f(x)∈Dual(Dual(V))…(3) と書ける(∵(1))。
そして,fはVからDual(Dual(V))への写像であり(∵(2),(3)),線形写像である(∵双対空間(1)の定義)。
更に今,dimV=dimDual(Dual(V))(=n)だから
V〓Dual(Dual(V))である(〓は同型の記号の意)
(∵[定理]V,WがF上の有次元線形空間ならばdimV=dimW⇔V〓W)。
そして,このfを自然な同型(natural identification)と呼ぶ。
という風に自然な同型の定義を解釈したのですが間違ってないでしょうか?
お礼
そうでしたか。 失礼致しました。m(＿ ＿)m