複素積分に関する質問です

質問

曲線C1,C2,C3で囲まれた領域で各∫1/(z-i)dzを計算しようとしています。
C1:z=√3exp(iπt) (0≦t≦1)
C2:z=-√3+2√3t (0≦t≦1)
C3:z=i+(1/2)exp(iπt) (0≦t≦2)

で各曲線は表されています。この時の
∫c2(1/(z-i))dzの値がなぜ2/3(πi)になるのかがどうしても導けません。
どなたかご存知の方よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>この時の
>∫c2(1/(z-i))dzの値がなぜ2/3(πi)になるのかがどうしても導けません。

C2による積分は、z=x+iy(y=0,x=-√3→√3)より、実数軸上のxの積分範囲[-√3,√3]の積分に置き換えられることに注目すれば

∫c2(1/(z-i))dz=∫[-√3,√3](1/(x-i))dx
=∫[-√3,√3]((x+i)/(x^2+1))dx
=∫[-√3,√3](x/(x^2+1))dx+i∫[-√3,√3](1/(x^2+1))dx

第一項は奇関数の対称区間の積分なので＝0、第二項は偶関数の対称区間の積分なので

=2i∫[0,√3](1/(x^2+1))dx
=2i[tan^-1(x)][0,√3]
=2i[π/3 -0]
=(2/3)πi

お礼

丁寧で簡潔な式展開をありがとうございます。見ればなるほどという感じで、目からうろこです。この簡潔な形がなかなか導けないので、苦労をするのですが。
どうもありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

ANo.1さんが∫_c2を実変数関数の積分に直して計算されているのでその回答で問題ないと思います．

複素積分でやるならつぎのようになります．

∫_c1dz/(z-i)=∫_Cdw/w

C：-√3-i=2e^{-i5π/6}から√3-i=2e^{-iπ/6}への線分

ここで1/wはCを含む単連結領域において正則だから微分積分の基本公式が成り立ちます．

∫_Cdw/w=∫_{2e^{i(-5π/6)}}^{2e^{i(-π/6)}}dw/w=Log(2e^{i(-π/6)})-Log(2e^{i(-5π/6)})=i(-π/6)-{i(-5π/6)}=2πi/3

※Log(*)は対数関数の主値です．

お礼

更に丁寧な解説ありがとうございます。アホな話かもしれませんが、arctan(x)の値が与えられた時の数値というのは直感ですぐにわからないのが私の正直な数学力ですので、なじみのある対数の方がわかりやすいです。ありがとうございます。