複素積分の初歩的な質問

質問

以下のような問題についてなのですが。。。

問
複素平面z上の単連結領域 -1<Imz<1 で、次の z=-1 から 1 までの
定積分を求めよ。

∫[-1,1]1/(z-i)dz
（被積分関数が 1/(z-i),積分範囲が[-1,1])

僕は実数関数のノリで
[log|z-i|]を原始関数としてやり答えが0になってしまったのですが
解答を見ると以下のようにやっています。

積分経路を z-i = √2*exp(iθ) (-3pi/4 <= θ <= -pi/4)
としてあとは普通に積分。(答えは(pi*i)/2）
つまり -1<Imz<1,-1<=Rez<=1 の範囲で被積分関数は
正則だからコーシーの積分定理より経路を変えても積分値は同じ、
-1から1へまっすぐ積分するのではなく扇形の弧を描くように
積分するということです（と思います)。

で、模範解答のやり方はそれはそれでよく納得できたのですが
僕が最初にやったやり方はなにが不味いのでしょうか。
そもそも原始関数がlog|z-i|がおかしいのでしょうか？
この公式(∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)|）は複素数の範囲だと
成り立たない公式なのでしょうか？
複素関数の積分で被積分関数が特異点を持つときは
exp(iθ)を絡ませるのが常套手段なのでしょうか？

よろしくお願いいたします！

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。詳しいことは忘れてしまったので「複素関数論に詳しい人に聞いてください。
参考意見ですけれど....
まず
結論をいうと
(1)「いい加減に考えれば」
f(z)が正則ならば　∫f'(z)/f(z)を
∫f'(z)/f(z)dz=log(f(z)+C　とできるかな？と思います。
絶対値を付けるのでいけない。
だからいい加減にやれば　∫1/(z-i)dz=log(z-i）（+C）　

∫[－1→1]1/(z-i)dz=[log(z-i)][－1→1]=log(1－i）－log(－１－i)
＝log{√2e^(－iπ/4)}－log{√2e^(－i3π/4)}
=log√2＋log{e^(－iπ/4)}－log√2－log{e^(－i3π/4)}
=log{e^(－iπ/4)}－log{e^(－i3π/4)}=－iπ/4－(i3π/4)
=πi/2となる。

しかし、そもそも複素平面での積分は「実数での微積分の『線積分』みたいなもので積分する経路を必要とする」
複素平面で「実数のときの不定積分という考えはない？」と思う。

(2)
複素平面での　logzはどのようなものかということか？

例えば、z=x+iy x,yはそれぞれzの実部と虚部とします。複素数zに対して|z|を考えると、
|z|=√(x^2+y^2)となる。
z≠0のtき、|z|>0で|z|は正の実数です。だからlog|z|は　log|z|=log√(x^2+y^2)の
普通の実数での対数関数と考えるのか？です。このとき、log|z|は正則関数ではありません。
なぜなら
正則関数ならば、Caucy-Riemannの関係が成り立たねばならないが
log|z|=log√(x^2+y^2)はその実部が　Re(log|z|)=log√(x^2+y^2)、
その虚部Im(log|z|)=0。　d/dxで[偏微分の記号の代用]として
ゆえにd{log√(x^2+y^2)}/dx=x/√(x^2+y^2)=x/|z|
一方d/dx(0)=d/dy(0)=0だから、成立しない。

そして実は　d/dz(log|z|）を記号的にやると　
d/dz(log|z|）=z^(-)/(2|z|)となります。ここにz^(-)はzの共役複素数です。

複素数平面では、一般にf(z)が正則でもlog|f(z)|は正則ではありません。
◎しかし　
複素平面では、logzは多価関数ですが、定義域をうまくとれば、
一価正則関数になり、d/dz(logz)=1/zとなります。よってf(z)が正則関数ならば、多価関数　logf(z)も正則となり、
d/dz(logf(z))=1/f(z)×d/dz(f(z)となります。
(3)
この場合、質問の内容に
-1<Imz<1とあります。Im(－i)=－１です。z=－1から１までのx軸の沿って
積分するとき原点　z＝0を通ります。z-0のときz－i=－iだから　Im(z－i)=－１となり、
条件-1<Imz<1に反するので、z=－1から１までのx軸の経路は考えてはいけないということです。
(4)
logzを一価の正則関数とするには、定義域Ｃ－｛0｝を拡張していわゆるRiemann面
(リーマン面）にすればよいのです。
(5)
質問者の本の解答の様に円の一部をとればその積分経路は、-1<Imz<1の中にあります。
(　ｉが中心で半径√2の円上で偏角を　－3π/4から－π/4ととったのですから）
以上です。

お礼

くわしい説明ありがとうございます！
リーマン面、、、一度聞いたことがあってなんだろうと思ったことがあるのですが
結局わからずじまいのものです。もっと勉強します。ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

＞ この公式(∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)|）は複素数の範囲だと
＞ 成り立たない公式なのでしょうか？

成り立ちません。　細かい計算はともかく、
他の関数の原始関数となるものは、微分可能でなくてはなりません。
微分可能な複素関数 f(x) に対して、log|f(x)| は微分不能です。
複素絶対値 |z| が、z で微分可能かどうか　考えてみましょう。

また、実数の範囲でも、∫f(x)'/f(x) dx = log|f(x)| という公式が
あるとは思わないほうがよいです。
f(x)>0 の範囲での解 ∫f(x)'/f(x) dx = log f(x) +(積分定数) と
f(x)<0 の範囲での解 ∫f(x)'/f(x) dx = log -f(x) +(積分定数) は、
f(x)=0 となる x 上で、決して接続できません。
log|f(x)| と、絶対値記号でまとめてしまうことは、
意味が無いばかりか、いろいろ勘違いのもとになります。

お礼

なるほど、、、認識を改めることにします。
ありがとうございました！

回答No.5

kup3kup3

こんばんは。
#3です。
また、計算が違ってたようで、すみません。一応訂正させて
いただきます。
ANo.3の
>正則関数ならば、Caucy-Riemannの関係が成り立たねばならないが
log|z|=log√(x^2+y^2)はその実部が　Re(log|z|)=log√(x^2+y^2)、
その虚部Im(log|z|)=0。　d/dxで[偏微分の記号の代用]として
>ゆえにd{log√(x^2+y^2)}/dx=x/√(x^2+y^2)=x/|z|

の最後のところ、x/|z|ではなく、x/(|z|)^2とせねばいけませんでした。
◎　ゆえにd{log√(x^2+y^2)}/dx=1/√(x^2+y^2)×x/√(x^2+y^2)
　　=x/(|z|)^2　です。

となります。
それと、もう１箇所
>そして実は　d/dz(log|z|）を記号的にやると　
d/dz(log|z|）=z^(-)/(2|z|)となります。ここにz^(-)はzの共役複素数です。

これを次の様に訂正します。
◎「そして実は　d/dz(log|z|）を記号的にやると　
d/dz(log|z|）=z^(-)/(2|z|^2)となります。ここにz^(-)はzの共役複素数です。ここに、
d/dzはx,yの関数を記号的にzとz^（－)の関数と考えたときの
zによる『偏微分の記号の代用』としています。」

なんどもすみませんでした。

お礼

いえ、丁寧にありがとうございます！
大変助かりました！

回答No.4

kup3kup3

#3です　ANo.3に間違いがありました。

>>(3)
この場合、質問の内容に
-1<Imz<1とあります。Im(－i)=－１です。z=－1から１までのx軸の沿って
積分するとき原点　z＝0を通ります。z-0のときz－i=－iだから　Im(z－i)=－１となり、
条件-1<Imz<1に反するので、z=－1から１までのx軸の経路は考えてはいけないということです。

いじょうは勘違いです。とりあえず撤回します。削除してください。
すみませんでした。

回答No.2

info22

> 僕は実数関数のノリで
> [log|z-i|]を原始関数としてやり答えが0になってしまったのですが
> 僕が最初にやったやり方はなにが不味いのでしょうか。
> そもそも原始関数がlog|z-i|がおかしいのでしょうか？
間違っています。

実数の範囲では
∫[-1,1] 1/(x-2)dx=[log|x-2|][-1↑1]=log|1-2|-log|-1-2|=log1-log3
=-log3
となりますが
複素数の範囲では
1/(z-i)の原始関数はlog|z-i|とはなりません。
複素領域に拡張された対数関数
log(z)≡log|z|+i*arctan(Im(z)/Re(z)
を使いますので原始関数はlog(z-i)となります。あくまで複素数となります。
真数に絶対値をつけただけのlog|z-i|は虚数部を切り捨てて無視しているので正しくありません。

∫[-1,1] 1/(z-i)dz=[log(z-i)][-1↑1]
=log(1-i)-log(-1-i)
=log√2+i(-π/4)-{log√2+i(-3π/4)}=i(π/2)
となります。

> 複素関数の積分で被積分関数が特異点を持つときは
> exp(iθ)を絡ませるのが常套手段なのでしょうか？
その方が積分が簡単になるからです。
積分が簡単になるのでそうしているだけです。
特異点が無い場合は直線に沿って積分します。

お礼

原始関数およびlogの拡張について、よくわかりました。
ありがとうございました！

回答No.1

guuman

log(z-i)=log|z-i|+i・arg(z-i)
となるのでzが-1から1まで実数軸上を動くと厄介な式になる
真面目にその積分式を補足に書け

お礼

ありがとうございました！