複素積分の問題を教えてください。

質問

下の複素積分Iを求めよ。
I=∮c|z|dz
ただし、積分路Cは図のように単位円|z|=1の上半部、反時計周りとする。
よろしくお願いします。途中計算も教えてください。苦手なので丁寧にやっていただけると助かります。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

さほど難しい問題ではない。
与えられた積分路において|z|=1だから
I=∫_c 1 dz=∫_c dz
である。
|z|での計算は面倒だが、"1"は複素平面上のいたるところで正則であるので単純に計算すればよい。
いたることで正則であることから経路も始点と終点が同じであれば自由に経路を変更してもかまわないので実軸上をとればよいでしょう。つまり与えられた積分は
I=∫[1,-1]dx
となります。これは高校入門レベルの積分。

もちろん、素直に計算することも可能。
積分経路上では
z=e^(iθ) (θ：0→π)
となりますので
dz=i*e^(iθ)*dθ
となります。
よって
I=∫[0,π]dθ |e^(iθ)|*i*e^(iθ)
後は計算あるのみ。もちろん|e^(iθ)|=1となりますので計算は非常に楽です。