単位円

質問

わからない問題があって投稿しました。何度もすみません。

AB=4, sinA=3√7/8の鋭角三角形ABCがあり、△ABCの外接円の半径は8√7/7である。

(3)点Bから辺ACに垂線を引き、辺ACとの交点をHとする。また、垂線BHのHの方への延長線上に、DH＝kBH（k>0）となる点Dをとる。△ACDの面積が25√7/4のとき、kの値とsin∠ADCの値を求めよ。

解法からわからないです(・_・;)
回答、よろしくお願いします_(._.)_

回答No.5

yyssaa

回答No.4の答の有理化を追加します。

sin∠ADC=(25√7)/(32√11)=25√77/352

回答No.4

yyssaa

外接円の中心をO、Oから辺ABに下ろした垂線の足をE(ABの中点
になる)、Oから辺ACに下ろした垂線の足をF(ACの中点になる)、
∠OAE=α、∠OAF=βとすると、三平方の定理により
OE=√(OA^2-AE^2)=√{(8√7/7)^2-2^2}=6/√7、∠A=α+βだから
sinA=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3√7/8、これに
sinα=OE/OA=(6/√7)/(8√7/7)=3/4、cosα=2/(8√7/7)=√7/4
sinβ=√(1-cos^2β)を代入、二乗、cosβで整理すると
64cos^2β-36√7cosβ+35=0、これを解いて
cosβ=[36√7±√{(36√7)^2-4*64*35}]/128=(36√7±4√7)/128
cosβ=5√7/16のときsinβ=9/16・・・(1)
cosβ=√7/4のときsinβ=3/4・・・(2)
このうち(2)の場合はβ=α＞π/4、α+β=∠A＞π/2となって題意
に反するので、(1)が得られる。
よってAF=(1/2)AC=OAcosβ=(8√7/7)*(5√7/16)=5/2からAC=5
△ABCの面積=(1/2)AB*AC*sinA=(1/2)*4*5*(3√7/8)=15√7/4
k=DH/BH=△ACDの面積/△ABCの面積(△ACDと△ABCはACを共有)
よってk=(25√7/4)/(15√7/4)=5/3・・・答
△ABCの面積=(1/2)AC*BH=(1/2)*5*BH=15√7/4からBH=3√7/2
三平方の定理によりAH=√(AB^2-BH^2)=√{4^2-(3√7/2)^2}=1/2
HC=AC-AH=5-1/2=9/2
DH＝kBH=(5/3)*(3√7/2)=5√7/2
三平方の定理によりAD=√(AH^2+DH^2)=√{(1/2)^2+(5√7/2)^2}
=√44=2√11
同じくCD=√(HC^2+DH^2)=√{(9/2)^2+(5√7/2)^2}=√64=8
△ACDの面積
=(1/2)AD*CD*sin∠ADC=(1/2)*(2√11)*8sin∠ADC=25√7/4より
sin∠ADC=(25√7)/(32√11)・・・答

回答No.3

suko22

すみません。遅くなりました。
＞BC=6,AC=5とでてきましたが、△ACDの出し方がわかりません。

仮定よりＤＨ⊥ＡＣがいえます。
＞辺ACとの交点をHとする。また、垂線BHのHの方への延長線上に、DH＝kBH（k>0）となる点Dをとる。
このあたりの文から自明です。

ですから△ＡＣＤ＝底辺×高さ×1/2＝ＡＣ*ＤＨ*1/2＝5*ＤＨ*1/2＝5ＤＨ/2
仮定より、
＞△ACDの面積が25√7/4のとき
ですから、5ＤＨ/2＝25√7/4
となります。

回答No.2

ferien

＞AB=4, sinA=3√7/8の鋭角三角形ABCがあり、△ABCの外接円の半径は8√7/7である。

＞(3)点Bから辺ACに垂線を引き、辺ACとの交点をHとする。また、垂線BHのHの方への延長線上に、DH＝kBH（k>0）となる点Dをとる。
＞△ACDの面積が25√7/4のとき、kの値とsin∠ADCの値を求めよ。

△ABHで、∠AHB＝90°だから、正弦定理より、
BH/sinA＝AB/sin90°
BH＝(AB/1)・sinA＝4・(3√7/8)＝3√7/2　……(1)

DH＝kBH（k>0）だから、(1)より、DH＝(3√7/2)k　……(2)

△ABCで、正弦定理より、
BC/sinA＝2R（Rは外接円の半径）より、
BC＝2R・sinA＝2・(8√7/7)・(3√7/8)＝6　……(3)

△ABHで、∠AHB＝90°より直角三角形だから、(1)より、
AH^2＝AB^2－BH^2＝4^2－(3√7/2)^2＝16－(63/4)＝1/4より、AH＝1/2　……(4)
△CBHで、∠CHB＝90°より直角三角形だから、(1)(3)より、
CH^2＝BC^2－BH^2＝6^2－(3√7/2)^2＝36-(63/4)＝81/4より、CH＝9/2　……(5)
よって、AC＝AH＋CH＝(1/2)＋(9/2)＝5　……(6)

(2)(6)より、
△ACDの面積＝(1/2)×AC×DH＝(1/2)・5・(3√7/2)k＝25√7/4より、
よって、k＝(25√7/4)・(4/15√7)＝5/3（＞0）

DH＝(3√7/2)k＝(3√7/2)・(5/3)＝5√7/2　……(7)

△ADHで、∠AHD＝90°より直角三角形だから、(4)(7)より、
AD^2＝AH^2＋DH^2＝(1/4)＋(175/4)＝44より、AD＝2√11
△CDHで、∠CHD＝90°より直角三角形だから、(5)(7)より、
CD^2＝CH^2＋DH^2＝(81/4)＋(175/4)＝64より、CD＝8

△ACDの面積＝(1/2)×AD×CD×sin∠ADC
＝(1/2)・2√11・8・sin∠ADC＝25√7/4
よって、sin∠ADC＝(25√7/4)・（1/8√11)＝25√77/352

図をかいて確認してみてください。

回答No.1

suko22

図を描いて点の位置関係をつかんでください。
ABとsinAと外接円の半径がわかっている。

ＤＨを求めます。
正弦定理を使ってＢＣを出す→余弦定理よりＡＣを出して、△ＡＣＤの面積（△ＡＣＤ＝1/2ＡＣ*ＤＨ）からＤＨを求めます。

次にＢＨを求めます。
△ＡＢＨは直角三角形なので三角比をつかうとＢＨが求まります。

ＤＨ＝ｋＢＨに値を入れてｋを決めます。

sin∠ＡＤＣを求めます。
面積の公式より
△ＡＣＤ＝1/2ＤＡ*ＤＣ*sin∠ＡＤＣの関係があります。・・・※
△ＡＣＤはわかっている。ＤＡとＤＣを求めます。

ＤＡを求めます。
△ＡＢＨは直角三角形なので三角比よりＡＨを出して、△ＡＤＨで三平方の定理よりＡＤを求めます。

ＤＣを求めます。
ＣＨ＝ＣＡ-ＡＨよりＣＨが求まり、△ＣＤＨで三平方の定理を適用してＤＣを求めます。

ＤＡ，ＤＣが求まったら※に戻って値を代入して式を整理すればsin∠ＡＤＣが求まります。

正弦定理
余弦定理
三角形の面積の公式
鋭角三角形における三角比
三平方の定理
を使うと以上のような流れで求められると思います。やってみてください。

補足

返事が遅くなってすみません。
最初のほうでわからないところがあるのですが…
BC=6,AC=5とでてきましたが、△ACDの出し方がわかりません。
補足、よろしくお願いします_(._.)_