高校数学の質問です

質問

1辺の長さが3の正三角形ABCの辺BCを1:2に内分する点をDとし,ADの延長が△ABCの外接円と交わる点をE,とする。DからBE,ECに下ろした垂線の足をそれぞれG,Eとする。このとき,

i )ADの長さを求めよ
ii )DHの長さを求めよ
iii)△ABCと△DGHの面積比を求めよ

解法をお教えくださいorz

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞1辺の長さが3の正三角形ABCの辺BCを1:2に内分する点をDとし,ADの延長が△ABCの外接円と交わる点をE,とする。
＞DからBE,ECに下ろした垂線の足をそれぞれG,Eとする。このとき,
それぞれG,Hとします。
＞i )ADの長さを求めよ
辺BCを1:2に内分する点をDだから、ＢＤ：ＤＣ＝１：２
ＢＣ＝３だから、ＢＤ＝１，ＤＣ＝２
△ＡＢＤで、余弦定理より、
ＡＤ^2＝ＡＢ^2＋ＢＤ^2－２×ＡＢ×ＢＤ×cos60
＝３^2＋１^2－２×３×１×(1/2)
＝７　より、ＡＤ＝√７

＞ii )DHの長さを求めよ
弧ＡＣ上の円周角だから、角ＡＢＣ＝ＡＥＣ＝６０°　……（１）
△ＡＢＤと△ＣＥＤとで
角ＡＢＤ＝角ＣＥＤ＝６０°…（１）より
角ＡＤＢ＝角ＣＤＥ（対頂角が等しい）
よって、２つの角が等しいから、
△ＡＢＤ相似△ＣＥＤ
よって、ＡＤ：ＣＤ＝ＢＤ：ＥＤ＝ＡＢ：ＣＥ＝√７：２より、
√７：２＝１：ＥＤより、ＥＤ＝２／√７
√７：２＝３：ＣＥより、ＣＥ＝６／√７
△ＣＥＤで、角ＣＥＤ＝６０°より、面積の公式から、
△ＣＥＤ＝（1/2)×ＥＤ×ＥＣ×sin６０°
＝(1/2)×（２／√７）×（６／√７）×（√３／２）
＝３√３／７
底辺ＣＥ，高さＤＨとすると、
(1/2)×（６／√７）×ＤＨ＝３√３／７とおけるから、
ＤＨ＝（３√３／７）×（√７／６）×２＝√２１／７

＞iii)△ABCと△DGHの面積比を求めよ
弧ＡＢ上の円周角だから、角ＡＣＢ＝角ＡＥＢ＝６０°……（２）
△ＡＣＤ相似△ＢＥＤだから、（さっきと同様）
ＡＤ：ＢＤ＝ＡＣ：ＢＥ＝√７：１より、
√７：１＝３：ＢＥより、ＢＥ＝３／√７
△ＢＥＤで、（２）から角ＢＥＤ＝６０°より、面積の公式から、
△ＢＥＤ＝(1/2)×ＢＥ×ＤＥ×sin６０°
＝(1/2)×（３／√７）×（２／√７）×（√３／２）
＝３√３／１４
底辺ＢＥ，高さＤＧとすると、
(1/2)×（３／√７）×ＤＧ＝３√３／１４だから、
ＤＧ＝（３√３／１４）×（√７／３）×２＝√２１／７
△ＤＧＨで、ＤＨ＝ＤＧ＝√２１／７
△ＤＧＥで、角ＧＤＥ＝180－角ＤＧＥ－角ＤＥＧ＝180－９０－６０＝３０
△ＤＨＥで、角ＨＤＥ＝180－角ＤＨＥ－角ＤＥＨ＝180－９０－６０＝３０
よって、角ＧＤＨ＝角ＧＤＥ＋角ＨＤＥ＝３０＋３０＝６０°
以上より、△ＤＧＨは正三角形
△ＡＢＣも正三角形で、２つは相似形だから、面積の比は、相似比（辺の比）の２乗になる。
よって、△ＡＢＣ：△ＤＧＨ＝３^2：（√２１／７）^2＝９：（３／７）＝２１：１

どうでしょうか？図を描いて確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました！

過去問なんですけど、おかげで理解できました(^-^;