余弦、正弦定理

質問

半径3の円に内接する三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ＝5,AC=2とする。
このとき辺ＢＣの長さを求める問題

sin B=1/3であるので、点Bから直線ACに垂線を下ろしその交点をHとすると、
AH = AB*sin B = 5/3となります。
また、点CについてはAC = 2あとは、直角三角形ABHとACHに三平方の定理を用いたのですが、
a＾2=b＾2 ＋　　c＾2
と式はわかるのですがどのように利用するかわかりません。
図よりＢＨ－ＣＨよりＢＣが求まるとおもうのですが。

それから、なぜｃは２点あるのですか？
Ｃはどの位置にあるかわからないからＨの右と左の両方を考えるために２箇所あるのですか？

それから、
さきほどは直角三角形の図使って考えたのですが、問題は
内接する三角形ＡＢＣなのでそれを利用して考えた場合
なぜＢは鋭角ということがわかるのですか？
もしかしたら、鈍角として考える場合もあるのでしょうか？

お願いします。

回答No.2

kony0

>点Bから直線ACに垂線を下ろしその交点をHとすると、

これ、間違いですね。
「点Aから直線BCに垂線を下ろし、その交点をHとすると」じゃないですか？そうであればAH=5/3も理解できるし、この垂線の意味もわからなくもない。

AH=5/3, AC=2だから、△ACHで三平方の定理でCH=？
また△ABHで三平方の定理で、AB=5, AH=5/3よりBH=？？

で、点Cは２点あり、それは∠ACBが鈍角のときと鋭角のとき。それぞれ点Hは線分BCの外側と○側にあるから、それぞれの場合でBC=BH－CHとBC=BH□CHで計算終了。

この２点ある理由については、#1の図をイメージしてください。また「鈍角のときと鋭角のとき」といえるのは、いろいろな説明ができます（三角比から押すことも可能です）が、中学生でも理解できるのは「円に内接する四角形の対角の和は180度だから」というのが簡明ですかね？図をイメージしたならばこれが思いついて欲しいところです。

回答No.1

kony0

>sin B=1/3であるので、点Bから直線ACに垂線を下ろし
>その交点をHとすると、AH = AB*sin B = 5/3となります。
本当ですか？BHは∠ABCを分割しませんか？

Cが２点ある理由は、図を描けば明らかと思いますが、半径３の円に、長さ５の弦を描いて、その一端から半径２の円弧を描けば、もとの円と２点で交わります。
（この図をイメージすることなく、垂線の足Hをイメージすることはできないと考えますが・・・ちなみに、Hという点を持ち出す必要性があまりよくわかりません。）

∠Bが鋭角なのは、AB＞ACから証明できます。前に同じ質問されたときに書きました。
しかし、この事実を知らずに∠Bが鈍角と仮定しても、BCの長さが負となり不適であることが結局導かれます。あまり意識することはないでしょう。

むしろ重要なのは、sinの値がわかっているときにcosの値を求めようとしたときに、正と負の２ケースがあるということです。