長方形を対角線で折り返す

質問

三垂線の定理がわからないので質問します。
問題は、
AB=a,BC=b(a<b)の長方形ABCDがある。この長方形を対角線ACを折り目として、頂点Dから平面ABCに引いた垂線が辺BC上の点Eで交わるように折り曲げる。
(1)DEの長さを求めよ。(2)２平面ABC,ADCのなす角θの余弦を求めよ。

(1)平面BDCがABに垂直なので、∠ABD=90°∴ BD=√(AD^2-AB^2)=√(b^2-a^2)であるが、これより
BD^2+CD^2=b^2=BC^2 ∴ ∠BDC=90°　そこで、∠DBC=∠CDE=αとおくと
DE=BDsinα=√(b^2-a^2)*a/b

(2)EからACに垂線EFを下すと、三垂線の定理より、DF⊥ACとなる。と解説されているのですが、
平面ACDに、平面ACD上にない点Eから垂線を下しその足Fが、平面ACDに含まれる直線ACを通るとき、点Eから平面ACD上の点Dに垂線を下したら、DF⊥ACとなるのはわかるのですが、問題文の、頂点Dから平面ABCに引いた垂線が辺BC上の点Eで交わるように折り曲げるから、DがEから平面ACD上におろした垂線の足になっているのが納得できません。そして三垂線の定理がわからなくなりました。
どなたか、EからACに垂線EFを下すと、三垂線の定理より、DF⊥ACとなる。を証明してくださいお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

DE⊥平面ABC
だから
AC⊥DE
AC⊥EF
だから
AC⊥平面DEF
だから
AC⊥DF

お礼

平面上にない点Dから垂線を下すように考えると、納得できました。解説ありがとうございます。