相似の証明と面積の計算

質問

△ＡＢＣでＡから辺ＢＣにひいた垂線をＡＤ、外接円の直径をＡＥとする。

１　△ＡＢＥ∽△ＡＤＣであることを証明せよ

２　ＡＢ＝１５センチ　ＡＣ＝１２センチ　ＡＥ＝１８センチのとき、△ＡＢＣの面積を求めよ。

わかりにくい画像ですみませんが、おねがいします。

回答No.4

asuncion

おっと失礼。

＞△ACDにおいて、AC²=AD²+DC²
＞DC²=144-100=44
＞DC=11√2

DC=2√11 が正しいです。よって、

△ABCの面積=BC×AD/2=(BD+DC)×AD/2
=(5√5+2√11)×10/2
=(25√5)+(10√11)

正解かどうかはわかりません。

回答No.3

spring135

1.
AEが直径なので∠ABE=直角＝∠ADC
∠AEB=∠ACB（同じ円弧AB上の円周角故)

よって2角がひとしいので△ＡＢＥ∽△ＡＤＣ

2.
三角形ABE,三角形ADCは相似な直角三角形である。

BE=√（18＾2-15＾2）＝3√11

BE/AE=CD/AC

数字を入れて

CD=2√11

AD/AC=AB/AE

数字を入れて

AD=10
BD=√（15＾2-10＾2）
＝5√5

三角形ABCの面積

＝AD×BC/2＝AD×（BD+CD)/2

＝10×（5√5+2√11）/2
＝5（5√5+2√11）

回答No.2

asuncion

(1)
△ABEと△ADCにおいて、

∠ABEは直径AEに対する円周角だから90°
∠ADCは題意より90°

∠AEBと∠ACDは同一の弧ABに対する円周角だから相等しい

残る∠BAEと∠DACも等しい

∴三角相等により、△ABE∽△ADC

(2)
AE:AC=AB:AD
18:12=15:AD
AD=10

△ABDにおいて、AB²=BD²+AD²
BD²=225-100=125
BD=5√5

△ACDにおいて、AC²=AD²+DC²
DC²=144-100=44
DC=11√2

△ABCの面積=BC×AD/2=(BD+DC)×AD/2
=(5√5+11√2)×10/2
=(25√5)+(55√2)

正解かどうかはわかりません。

回答No.1

gohtraw

∠ＡＣＥ、ＡＥＢはいずれも弦ＡＢに対する円周角なので、両者の大きさは等しくなります。また、∠ＡＢＥは直径に対する円周角なので、直角です。これらのことより△ＡＢＥと△ＡＤＣは二つの内角が等しいので相似になります。

上記より、ＡＤの長さは１０ｃｍです。そこで△ＡＣＤについて三平方の定理を使うとＣＤの長さが判ります。また、△ＡＢＤについて三平方の定理を使うとＢＤの長さが判ります。これでＢＣの長さが判るので、△ＡＢＣの面積も出ますね？