関数

質問

xの関数f(x)=a(x^2+2x+2)^2+2a(x^2+2x+2)+bは最小値6をもち、f(0)=11である。このとき、定数a、bの値を求めよ。

(x^2+2x+2)の部分が共通しているのでそこを使っていくのかなぁ…とは考えたのですが、やっぱり解法がわからないです…。

回答、よろしくお願いします。

回答No.3

soixante

＃１です。

大変失礼しました。問題文を全く読み間違えておりました（汗

＃2さまご指摘ありがとうございます。
質問者さま申し訳ありません。
この回答は無視してくださいm(_ _)m

お礼

いえいえ、回答してくださっただけでとてもありがたいです！
私の質問に時間を割いてくださってありがとうございました_(._.)_

回答No.2

asuncion

＞#1さん
＞f(x)=ax^2+2ax+2a + 2ax^2+4ax+4a + b
何か全然違うように見えます。f(x)は4次関数ではないでしょうか。

f(x) = a(x^2 + 2x + 2)^2 + 2a(x^2 + 2x + 2) + b
f(0) = 11より、
4a + 4a + b = 11
8a + b = 11

t = x^2 + 2x + 2とおくと、f(x)はtの2次関数となる。
at^2 + 2at + b
= a(t^2 + 2t) + b
= a(t^2 + 2t + 1 - 1) + b
= a(t + 1)^2 - a + b
これが最小値6を持つということは、
a > 0であり、かつ、t = -1のときに最小値-a + b = 6を持つ、ということである。

8a + b = 11 …… (1)
-a + b = 6 …… (2)
(1)-(2)より、9a = 5, a = 5/9
(2)に代入して、b = 59/9
a = 5/9はa > 0を満たしているので、
(a, b) = (5/9, 59/9)を解としてよい。

お礼

回答、ありがとうございます！！
自分のわからなかったところがわかったので良かったです！
今回も本当にありがとうございました_(._.)_

回答No.1

soixante

二次関数で最大とか最少とか出てきたら、まずはグラフを書かないと始まりませんよ。
手を動かさねば。

f(x)=ax^2+2ax+2a + 2ax^2+4ax+4a + b
=3ax^2 + 6ax + 6a + b

f(x)=3a(x^2+2x)+6a+b
=3a(x+1)^2 + 3a + b

x=-1 を軸とした二次曲線であることが分かります。
その時の最小値は、3a+b ですが、問題文より6
3a+b=6

f(0)= 6a+b=11

この二つを解けば出るでしょう。

お礼

二次関数で最大、最小が出てきたらグラフを書くのですね！
高校の先生も同じことを言っていたような気がします。
アドバイス、ありがとうございます！
実践するようにしますね！