二次関数

質問

二次関数f(x)=-2x^2-8x+a^2, g(x)=x^2-2bx+b^2+b-9があり、0≦x≦3における関数g(x)の最小値は-4である。ただし、a、bは正の定数とする。

（2）bの値を求めよ。

解法がわかりません。回答、よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

g(x)=(x-b)^2+b-9
y=g(x)は下に凸で、軸の方程式x=b(b>0)、頂点(b,b-9)の放物線であることがわかります。

＞0≦x≦3における関数g(x)の最小値は-4である。

軸の位置がｂにより左右にずれるので、ｂの値で最小値が変わってくるため場合わけします。
i　0＜b＜3のときｘ＝ｂのとき最小値ｂ-9をなる。（添付図：赤線）
ii　b≧3のときｘ＝3のとき最小値g(3)=9-6b+b^2+b-9=b^2-5b（添付図：青線）

↑ここまでが準備です。

問題文より最小値が-4となるから、
iのとき（0＜ｂ＜3）
ｂ-9＝-4より、
ｂ＝5

0＜ｂ＜3よりｂ＝5は不適。

iiのとき（ｂ≧3）
b^2-5b=-4
(b-1)(b-4)=0
b=1,4

ｂ≧3より、ｂ＝4

添付図のような簡単な図を描くといいと思います。

お礼

図まで添付してくださってありがとうございます。

最近、数学の先生の所に質問に行くようになったので、以前より話がよくわかるような気がします。

いつもありがとうございます。

今回の回答もとてもわかりやすいです。
ありがとうございました。