数学

質問

n≧2のとき
0≦x≦1/√2で
1≦1/√1－x＾n≦1/√1－x＾2

といえるのはなんでですか?

0≦x＾n≦x＾2
となってるんですが
ここからわかりません

お願いします

回答No.1

無 鉄砲（@without-a-gun） · ベストアンサー

0≦x≦1/√2ですから、0≦x<1です。
仮に、例えば、x=0.5ぐらいだと思ってください。
xにxをかければかけるほど小さくなりますよね。
でも、どんなにかけてもゼロより小さくはならない。

すると、n≧2のとき、0≦x＾n≦x＾2が成り立つのが分かると思います。

あとは、この不等式の各辺に、-1をかけ、1を足し、平方根を取り、逆数にすれば
1≦1/√1－x＾n≦1/√1－x＾2
に変形できます。

お礼

ありがとうございます。
理解できました！

回答No.2

Dr-Field

n≧2、0≦x≦1/√2(＜１)の2つの条件から、0≦x＾n≦x＾2は言える。
0≦x＾n≦x＾2 → -1をかけて、不等号を逆にする。→
-x＾2≦-x＾n≦0 → 全ての項に1を足す。→
1-x＾2≦1-x＾n≦1、なお、0≦x≦1/√2だから、1/2{＝1-(1/√2)^2}≦1-x^2ともなる。→
1/2≦1-x＾2≦1-x＾n≦1 → 各項を√に入れても不等号の向きはそのまま。→
1/√2＝(√2)/2≦√(1-x^2)≦√(1-x^n)≦√1＝１ → 各項の逆数をとると、不等号の向きは逆になるから、→
１≦1/√(1-x^n)≦1/√(1-x^2)となり、証明された。