数学 極限値

質問

（１）
lim(n→∞) n(　n√x -1)　　　　※ｎ√ｘ　はｘのｎ乗根です

（２）
lim(x→∞)　x(a^1/x -1)

上の2問が分かる方いらっしゃいましたら
解き方を教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.5

ereserve67 · ベストアンサー

似たような問題で，（２）から（１）を導くことができますが，いろいろな解法で解いてみましょう．

（１）のxをaとし，（２）とともにa>0とします．

（１）a=1のときはあきらかに0だから，a≠1のときを考えます．n√a=a^{1/n}=bとおくとa=b^n．

a-1=b^n-1=(b-1)(b^{n-1}+b^{n-2}+・・・+b+1)

=(b-1)Σ_{k=0}^{n-1}b^k

=(n√a-1)Σ_{k=0}^{n-1}a^{k/n}

n√a-1=(a-1)/Σ_{k=0}^{n-1}a^{k/n}

∴n(n√a-1)=n(a-1)/Σ_{k=0}^{n-1}a^{k/n}

=(a-1)/[(1/n)Σ_{k=0}^{n-1}a^{k/n}]

n→∞とすると区分求積から

lim_{n→∞}(1/n)Σ_{k=0}^{n-1}a^{k/n}

=∫_0^1a^xdx=[a^x/log(a)]_0^1

=(a-1)/log(a)

よって

lim_{n→∞}n(n√a-1)=(a-1)/{(a-1)/log(a)}

=log(a)

a=1のときと合わせて

lim_{n→∞}n(n√a-1)=log(a)

（２）a>0とします．a=1のとき

x(a^{1/x}-1)=x(1-1)=0

∴lim_{x→∞}x(a^{1/x}-1)=lim_{x→∞}0=0

a≠1のとき，f(t)=a^t，1/x=hとおくと

lim_{x→∞}x(a^{1/x}-1)
=lim_{h→0}(a^h-1)/h=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h=f'(0)

f'(t)=(a^t)'=a^tlog(a)であるから

lim_{x→∞}x(a^{1/x}-1)=log(a)

これはa=1のときも成り立ちます．よってa>0のとき

lim_{x→∞}x(a^{1/x}-1)=log(a)

※（２）でxを自然数nとして（１）が得られます．

お礼

大変ありがとうございました

回答No.4

info22_

（１）
lim(n→∞) n(n√x -1) (x>0とする)
=lim(n→∞) n(x^(1/n) -1)

n=1/yとおくと
=lim(y→+0) (x^y -1)/y

f(y)=x^y=e^(ylog(x))とおくと f(0)=1, f'(y)=log(x)*x^y,f'(0)=log(x)より

=lim(y→+0) (f(y) -f(0))/(y-0) ... 微分の定義
=f'(0)
=log(x)

（２）
lim(x→∞)　x(a^(1/x) -1) (a>0とする)

x=1/yとおくと
=lim(y→+0)(a^y -1)/y

f(y)=a^y=e^(ylog(a))とおくと　f(0)=1,f'(y)=log(a)*a^y, f'(0)=log(a)より

=lim(y→+0) (f(y) -f(0))/(y-0) ... 微分の定義
=f'(0)
=log(a)

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました！☆
おかげさまで大変よく理解できました。

回答No.3

Tacosan

わからないなら調べてください.

ま, 微分してもいいけどね.

お礼

分かりました。

ありがとうございます！！

回答No.2

Tacosan

うん, (1) についてはテーラー展開が最も簡単だと思う.

お礼

回答ありがとうございます。

すみません、テーラー展開とういうのがわかりません(・_;)。。。

回答No.1

Tacosan

テーラー展開&ただの微分

お礼

テーラー展開ですか！？