数学についてです

質問

f0(x)=f(x),fn(x)=∫[a→x]fn-1(t)dt (n≧0)なら、fn(x)=1/(n-1)の階乗∫[a→x]（x-t)^n-1f(t)dtとなることを示せという問題です。どうかよろしくお願いします。

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

問題文には「fn(x)=∫[a→x]fn-1(t)dt (n≧0)」と書いてありますが，
そうすると n = 0 のとき，被積分関数が f[-1](t) になってしまいますので，

f[n] = ∫[a,x]dt f[n-1](t) (n ≧ 1)

でしょう．

※以下，二重積分を扱いますので，
どの∫と，どの積分変数が対応するのかがわかりやすくなるように，
「∫[a,x]dt …」というようにインテグラル記号と dt などを
くっつけて表すことにします．

f[n](x) = 1/(n-1)! ∫[a,x]dt (x-t)^(n-1) f(t) …(1)

を数学的帰納法を用いて証明します．

i) n = 1 のとき，
漸化式より
f[1](x) = ∫[a,x]dt f[0](t) = ∫[a,x]dt f(t).

これは，式(1)において n = 1 と置いたものと一致する．
したがって，式(1)は n = 1 のとき成立する．

ii) n = k (k ≧ 1)のとき
f[k](x) = 1/(k-1)! ∫[a,x]dt (x-t)^(k-1) f(t) …(2)
が成立することを仮定すると，
n = k+1 のとき，漸化式より
f[k+1](x) = ∫[a,x]dy f[k](y).
(積分変数はダミー変数なので，
後の計算の都合上，積分変数 t を y に置き換えた．)

そこで，この式に式(2)を代入すると，
f[k+1](x) = 1/(k-1)! ∫[a,x]dy ∫[a,y]dt (y-t)^(k-1) f(t).

ここで二項定理を用いて (y-t)^(k-1) を展開すると，
f[k+1](x)
= 1/(k-1)! Σ[p=0,k-1] C[k-1,p]∫[a,x]dy y^p∫[a,y]dt (-t)^(k-p-1) f(t).

∫[a,x]dy … の被積分関数を
y^p と ∫[a,y]dt (-t)^(k-p-1) f(t)との積とみなして
部分積分を行う．
このとき，微積分学の基本定理により
d/dy ∫[a,y]dt (-t)^(k-p-1) f(t)
= (-y)^(k-p-1) f(y)
を用いる．

f[k+1](x)
= 1/(k-1)! Σ[p=0,k-1] 1/(p+1) C[k-1,p]
×{ x^(p+1) ∫[a,x]dt (-t)^(k-p-1) f(t) - ∫[a,x]dy y^(p+1)(-y)^(k-p-1) f(y) }.

二項係数の部分は
1/(p+1) C[k-1,p] = 1/k C[k,p+1]
と書き換えることができるので，和の変数を p' = p+1 に置き換え，
ついでに2項目の積分変数(ダミー) y を t に書き直して，

f[k+1](x)
= 1/k! Σ[p'=1,k] C[k,p']
×{ x^p' ∫[a,x]dt (-t)^(k-p') f(t) - ∫[a,x]dt t^p'(-t)^(k-p') f(t) }.
= 1/k! Σ[p'=0,k] C[k,p']
×{ x^p' ∫[a,x]dt (-t)^(k-p') f(t) - ∫[a,x]dt t^p'(-t)^(k-p') f(t) }
- 1/k! { ∫[a,x]dt (-t)^k f(t) - ∫[a,x]dt (-t)^k f(t) }
= 1/k! Σ[p'=0,k] C[k,p']
×{ ∫[a,x]dt x^p'(-t)^(k-p') f(t) - ∫[a,x]dt t^p'(-t)^(k-p') f(t) }.

二項定理を用いると，二項目の積分は消える．

f[k+1](x) = 1/k! ∫[a,x]dt (x-t)^k f(t).

これは，式(1)が n = k + 1 において成立することに他ならない.

iii) 以上，数学的帰納法により任意の正整数 n に対して式(1)が成立する．

回答No.1

jagtd54mwp

f0(x)=f(x),fn(x)=∫[a→x]fn-1(t)dt (n≧0)なら、fn(x)=1/(n-1)の階乗∫[a→x]（x-t)^n-1f(t)dtとなることを示せ。

カレー＝美味い

シチュー＝お袋の味

（カ美n）＝（n≧0）

（x-t）n-1f（t）dt ≠fn（x）=1/（n‐1）

すいませんわかりません