数学IIIの問題

質問

極限の問題です。助けてください 解説もお願いします
次の数列の極限値を教えてください。

(1) lim n→∞ (3n+2)/(n-1) (2) lim n→∞ (n+1)/(2n^2 -n-3)

(3) lim x→4 (x^2 -16)/(x-4) (4) lim x→∞ (3^x +3)/(3^x -3)

(5) lim x→∞ ｛√(n+3) -√n ｝ (6) lim x→0 ｛√(x+1) -1｝/x

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

(1) lim n→∞ (3n+2)/(n-1)＝ lim n→∞ (3+2/n)/(1-1/n)=3
(nで分子分母を割る)

(2) lim n→∞ [(n+1)/(2n^2 -n-3)]= lim n→∞ [(1/n+1/n^2)/(2 -1/n-3/n^2)]= 0/2=0
(n^2で分子分母を割る)

(3) lim x→4 [(x^2 -16)/(x-4)]＝ lim x→4[ (x-4)(x+4)/(x-4)]=lim x→4(x+4)=8
(x-4で分子分母を割る)

(4) lim x→∞ (3^x +3)/(3^x -3) = lim x→∞ [1+1/3^(x-1)]/[1-1/3^(x-1)] =1/1=1
(3^xで分子分母を割る)

(5) lim x→∞ {√(n+3) -√n}
=lim x→∞[{√(n+3) -√n}{√(n+3) +√n }/{√(n+3)+√n}]
({√(n+3) +√n }をかけて割る。）
=lim x→∞[{(n+3 -n}/{√(n+3)+√n}]
=lim x→∞[3/{√(n+3)+√n}]=0

(6) lim x→0 ｛√(x+1) -1｝/x
＝ lim x→0{√(x+1) -1}{√(x+1)+1}/x{√(x+1) +1}
(分子分母に{√(x+1) +1}をかける)
＝ lim x→0[{(x+1) -1}/x{√(x+1) +1}]
＝ lim x→0[x/x{√(x+1) +1}]
= lim x→0[1/{√(x+1) +1}]=1/2