数学の問題が分かりません。

質問

数学の問題が分かりません。

方程式x^n+x^(n-1)+…+x-n+1=0(n=1,2,3,…)について次の問に答えよ
(1)上の方程式は負でない実数解はただ一つだけしか持たないことを示せ。また、この解をs[n]とおくとき0≦s[n]＜1であることを示せ。
(2)g[n](x)=(1/n)Σ[i=1,n]x^i とおくと、0≦x≦1のときg[n+1](x)≦g[n](x)であることを示せ。
(3)s[1]＜s[2]＜…＜s[n]＜…＜1であることを示せ。
(4)s[n]≦1-(1/n)を確かめることにより、lim[n→∞]s[n]=1であることを示せ。

(1)は分かったのですが、それ以降が分かりません。どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

fn(x)=x^n+x^(n-1)+…+x-n+1　とおく。

(1)
f1(x)=xは、x=0の１つだけの実数解を持つ。0<=s[1]<1である。
n>1なるnについて、
fn(0)=-n+1<0, fn(1)=n-n+1=1
fn'(x)=nx^(n-1)+(n-1)x^(n-2)+・・・+1>=1 (x>=0において)
以上から、fn(x)は、xが負でない範囲で単調増加で、fn(0)<0,fn(1)>0
であることから、0<x<1の範囲で１つだけ実数解をもつ。
n=1のケースとあわせると、0<=s[n]<1となる。

(2)
n=1のとき、
g[n+1](x)-g[n](x)
=(x+x^2)/2-x=x(x-1)/2<=0　（0<=x<=1において)

n>1のとき、
g[n+1](x)-g[n](x)
=(x+x^2+・・・+x^n+x^(n+1))/(n+1)-(x+x^2+・・・+x^n)/n
={nx^(n+1)-(x^n+x^(n-1)+・・・+x^2+x)}/{n(n+1)}
=x(x-1){nx^(n-1)+(n-1)x^(n-2)+・・・+2x+1}/{n(n-1}
=[0以上]×[0以下]×[0以上]/{n(n-1)}<=0

以上から、g[n+1](x)<=g[n](x)

(3)
定義よりfn(s[n])=s[n]^n+s[n]^(n-1)+・・・+s[n]-n+1=0。
f(n+1)(s[n])=s[n]^(n+1)+s[n]^n+・・・+s[n]-(n+1)+1
=s[n](fn(s[n])+n-1)+s[n]-n
=n(s[n]-1)<0　（(1)より0<=s[n]<1であることから)

(1)よりfn(x)は単調増加関数であり、fn(1)=1>0なので、
f(n+1)(x)は、s[n]<x<1の間に解を１つだけもつ。これを
s[n+1]とすれば、s[n]<s[n+1]となる。(1)よりs[n]<1
なので、以上からs[1]<s[2]<・・・s[n]<・・・<1

(4)
s[n]>=1-(1/n)の誤り（不等号の向きが逆）ではないかと
思われます（※）。
反例：n=2のとき、f2(x)=x^2+x-1=0をとくと、x=(-1+√5)/2>1-1/2。

（※）の推測の通りとすると、
n=1のとき、s[1]=0<=1-(1/1)なので、確かめられた。
n>1のとき、
fn(1-1/n)
=Σ[i=1,n](1-1/n)^i-(n-1)
={1-(1-1/n)^n}/{1-(1-1/n)}*(1-1/n}-(n-1) （等比数列の和）
=-(n-1)・(1-1/n)^n<0　なので、
fn(x)が単調増加関数であること、fn(1-1/n)<0,fn(1)=1>0から、
解s[n]は、1-1/n<s[n]<1である。
n=1のケースと併せると、s[n]>=1-(1/n)となる。

lim[n→∞]{1-(1/n)}=1となることから、(3)の結果
もあわせることにより、lim[n→∞]s[n]=1が示される。

お礼

ありがとうございます。理解できました。

回答No.1

Tacosan

てきとうに:
(1) 中央値の定理
(2) 0 ≦ x ≦ 1 なら x^1 ≦ x^2 ≦ x^3 ≦ …
(3) (2) と中央値の定理
(4) この不等式は成り立ちません. よしんば成り立ってもそのあとの極限には続かないが.