数学です√

質問

皆無です。
是非教えてください。

nは3以上の整数とする。

(1)等式x^n=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1が成り立つことを示せ。
(2)整式x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ。
(3)整数x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよ。

回答No.3

think2nd · ベストアンサー

何から手をつけていいか分からないのでしたら、例えば以下のように解ける。最初の一歩は等比級数の考えを利用する。(帰納法でもできますが使いません)
(1)等式x^n=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1が成り立つことを示せ。
　　i）x≠１とき
　　　左辺＝１
　　　右辺＝１
　　　よって　x^n=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1は成り立つ。
　　ii）x≠１とき、
　　　　x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1は等比ｘで第n-1項までの和だから
　　　　　x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1=(x^n-1)／(x-1)　・・・（4）
　　　と書ける。
　　　これを移項して整理すれば
　　　　　　(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1)+1=x^n
　　　となる。ＱＥＤ

(2)整式x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1を(x-1)(x-2)で割ったときの余りを求めよ。
　　　Ｐ(x)=x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1　(n≧3)　とおく
　　　　(x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x)余りをax+bとおくと、剰余の定理によって
　　　　P(1)＝ｎ=a+b
　　　　P(2)=(2^n-1)/(2-1)=2a+b
　　　　　　∴　2^n-1=2a+b
　　　　　上の2つの連立方程式からa,bを求めて下さい。以下略

(3)整数x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよ。
　　はゲームですね。
　　　　上の(4)で遊べます。の両辺を
　　(x-1)(x-2)
　　　　　でわると。
　｛x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1｝÷(x-1)(x-2)=(x^n-1)／{(x-1)^2(x-2)}　・・・（4）'
　　　　{(x-1)^2(x-2)}[Q(x)+(ax+b)/{(x-1)(x-2)}]+1=x^n　
　　{(x-1)^2(x-2)}Q(x)+(ax+b)(x-1)+1=x^n　（←この変形を鉛筆で追ってね）
　と変形できるから
　x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったと右辺の{(x-1)^2(x-2)}Q(x)はx-1)^2(x-2)で割り切れて残りの整式の項は２次式だからこれが余り、すなわち
x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りは(ax+b)(x-1)+1である。この後の計算は先ほど持った鉛筆で解いて下さい。

だから　回答輩の皆さんも、答えにくいんでしょうね、

回答No.4

alice_44

(1)は、右辺の括弧を展開して整理するだけ。
(2)が、要点かな。割算の余りを求める問題は
(割られる式) = (割る式)(商) + (余り) の式を
x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1 = (x-1)(x-2)Q(x)+ (ax+b) ←[*]
の様に立てて、(割る式) の値を 0 にする代入をする。
基本例題だから、類題も研究して、理解しておくべき。
(3)は、(2)のオマケ。[*]の式の両辺を (x-1) 倍
すれば終わり。

回答No.2

Tacosan

何が「皆無」なの?

回答No.1

mister_moonlight

(1)と(2)は、どうでもいい問題だから省略。設問のtarget　は　(3)なんだが。

＞(3)整数x^nを(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよ。

商をＡ(X)、余りを　ax＾2+bx+c　とする。
x^n＝(x-1)^2*(x-2)*Ａ(X)＋(ax＾2+bx+c)　→　x^n-(ax＾2+bx+c)＝(x-1)^2*(x-2)*Ａ(X)。
f(x)≡x^n-(ax＾2+bx+c)とすると、これは(x-1)^2　と　(x-2)で割り切れる事を示している。
従って、f(2)＝f(1)＝f´(1)＝0が条件。
つまり、1-a-b-c＝2＾n-4a-2b-c＝1-2a-b＝0　後は連立して解くだけ。それくらいは自分でできるだろう。