順列・組み合わせの問題

質問

問題
それぞれ６人のメンバーを持つバレーボールのチームがABCの３つあります。この３つのチームから６人の代表を選び出すことになりました。何通りの選び方があるでしょうか？ただし、どのチームからも少なくとも１人の選手を選ぶものとします。

次のように考えてみました。
まずABCから１人づつ選ぶ選び方は、６ｘ６ｘ６＝２１６通り
そのそれぞれで残りの３人はチームに関係なく１５人から３人を選ぶ。その選び方は15C3=455通り。
よって求める数は２１６ｘ４５５＝９８２８０通り

ところが解答をみるとかすってもいません。どう間違っているのかわからず、恥を忍んで質問します。よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

＞まずABCから１人づつ選ぶ選び方は、６ｘ６ｘ６＝２１６通り
そのそれぞれで残りの３人はチームに関係なく１５人から３人を選ぶ。その選び方は15C3=455通り。
よって求める数は２１６ｘ４５５＝９８２８０通り

これだと数えすぎてしまっているので、重複した分を引かなくてはいけません。

なぜ数えすぎているのかを具体的に見てみます。

それぞれのグループのメンバーに番号をＡ1からＡ6、Ｂ1からＢ6、Ｃ1からＣ6のようにつけるとします。

質問者さんの式は、ＡＢＣから1人ずつ選ぶ方法は216通り、それぞれの選び方対して残り3人を選ぶ方法は15Ｃ3通りあるという解釈になります。

ここで具体的にこの計算でいいのか考えるため、簡単のため216通りのうちの2パターンについて取り出して考えてみます。

ＡＢＣの特定の1人をＡ1Ｂ1Ｃ1を先に選び出して、それ以外の15人の中から3人を選び出す方法は15Ｃ3通りです。・・・※1

ＡＢＣの特定の1人ををＡ1Ｂ1Ｃ2と先に選んだとき、それ以外の15人の中から3人を選び出す方法は15Ｃ3通りです。・・・※2

※1と※2では重複して数えているのはわかりますか？
たとえば、
※1で15Ｃ3の中からＡ2Ｂ2Ｃ2
※2で15Ｃ3の中からＡ2Ｂ2Ｃ1
を選ぶと、両方ともＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2Ｂ2Ｃ2を選んでいます。

この他にもＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ3Ｂ3Ｃ2などたくさん重複して数えています。

だから2*15Ｃ2とすると数えすぎになります。

数えすぎた分を引けばいいのですが、それは考えるのも大変なので、この方法は捨てて、違う数え方を模索しようというわけです。

たとえば、
解1）
人数の取り出し方をまずは考えて、それから組み合わせを考えます。（）内は人数
　 Ａ｜Ｂ｜Ｃ
　（1、1、4）　6Ｃ1*6Ｃ1*6Ｃ4
（1、2、3）　6Ｃ1*6Ｃ2*6Ｃ3
（1、3、2）　以下略
（1、4、1）
（2、1、3）
（2、2、2）
（2、3、1）
（3、1、2）
（3、2、1）
　（4、1、1）

これを計算して足し合わせると答えになります。

解2）余事象を使います
（全組み合わせ）-（Ａからのみ選ばれる）-（Ｂからのみ選ばれる）-（Ｃからのみ選ばれる）-（ＡＢからのみ選ばれる）-（ＢＣからのみ選ばれる）-（ＣＡからのみ選ばれる）
＝18Ｃ6-3*6Ｃ6-3*（ＡＢからのみ選ばれる）

お礼

丁寧な解説でよく理解出来ました。
模範解答は解1)によるものでした。
解2)を使って計算しましたが見事にあいました。
ありがとうございました。

回答No.2

muneneko

A、B、Cチームにはそれぞれ1番から6番までがいて、Aチームの1番をA1と書くこととします。

まず、ABCから1人ずつ選ぶとします。
A1,B1,C1が選ばれました。
次に残りの15人から3人選びます。
A2,B2,C2が選ばれました。
これで1通りですね。

ほかの組み合わせを考えます。
まず、ABCから1人ずつ選びます。
A2,B2,C2が選ばれました。
次に残りの15人から3人選びます。
A1，B1,C1が選ばれました。
これはさっきの組み合わせと同じですね。

snoriooさんの解法だとこういう数え方を許してしまうので、数えすぎになってしまいます。

お礼

簡明な説明でよくわかりました。ありがとうございました。