確率の問題（高校数学）

質問

どうしてもわからない問題があるので解き方をお教えいただければ嬉しいです。

Ａ，Ｂの2チームが7回戦を行い、先に4勝したチームを勝ちとする。
勝ちが決定するまでの行われる試合数をＸとするとき次の問いに答えよ。

(1)7試合で勝ちが決まる確率P(X=7)を求めよ。
(2)勝ちが決まるまでに行われる試合数Xの期待値を求めよ。

参考：
(1)の解答⇒P(X=7)=6C3*(1/2)^3*(1/2)^3*(1/2)*2=0.3125
(2)の解答⇒E(X)=4*(1/2)^4*2+5*4C3*(1/2)^3*(1/2)*(1/2)*2+6*5C3*(1/2)^3*(1/2)^2*(1/2)*2+7*0.3125=5.8125

独学のため、さっぱり分かりません。どなたか詳しい解説お願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞(1)なら(1/2)^3*(1/2)^3とかの所の理由がいまひとつ分かりません。。
わけて考えてみましょう。

Ａチームが4勝3敗で勝ちとなる場合を考えます。
6試合目までで3勝3敗、7試合目で1勝
Ａチームが勝つ確率は 1/2、負ける確率も 1-1/2= 1/2

6試合目までで「勝」「負」を並べる並べ方は、6Ｃ3とおりなので
6試合目までで3勝3敗となる確率は
(並べ方の数)×(3勝する確率)×(3敗する確率)
= 6Ｃ3 * (1/2)^3 * (1-1/2)^3

7試合目は勝つ確率は 1/2なので、求める確率は
6Ｃ3 * (1/2)^3 * (1-1/2)^3 * 1/2

Ｂチームが4勝3敗で勝つ確率も同様なので、(1)の問題の答えは
6Ｃ3 * (1/2)^3 * (1-1/2)^3 * 1/2 * 2

Ａチームが勝つこととＢチームが勝つことは同時に起こらないので、
足し合わせる（計算上は2倍）ことをしています。

#1では「とにかく3勝3敗、最後はどちらが勝っても4勝3敗で終了」という表現ですので、
少しニュアンスが違っています。

お礼

なるほど！なんとなくそれぞれの数字の意味はわかりました。

ありがとうございました＼(^o^)／

回答No.1

naniwacchi

もうすぐおこなわれる「日本シリーズ」と同じ形式ですね。
問題文には書かれていませんが、
１回の試合でＡチームが勝つ（Ｂチームが負ける）確率は 1/2であるとします。

(1)7試合で勝ちが決まる確率P(X=7)を求めよ。
7試合「目」で決まるということは、6試合目までは 3勝3敗であるということです。
6試合中、Ａチームが3勝する組合せの数を考えればよいことになります。

7試合目はＡ，Ｂチームどちらが勝ってもよいので組合せは 2とおりです。
どちらかが勝つ確率 1/2と掛け合わせると 1/2*2=1となり、
7試合目だけ（最終試合）の確率は1でよいことになります。

(2)勝ちが決まるまでに行われる試合数Xの期待値を求めよ。
まず、Ｘ＝０，１，２，３の場合は確率０です。（4勝に到達しない）

i) Ｘ＝４のとき
Ａチームが4連勝 or Ｂチームが4連勝

ii) Ｘ＝５のとき
Ａチームが3勝1敗で、5試合目はＡチームが勝つ
or Ｂチームが3勝1敗で、5試合目はＢチームが勝つ

iii) Ｘ＝６のとき
Ａチームが3勝2敗で、6試合目はＡチームが勝つ
or Ｂチームが3勝2敗で、6試合目はＢチームが勝つ

iv) Ｘ＝７のとき
(1)の問題ですね。

8試合以上になることもないので、Ｘ≧８は確率０です。

ii，iii，ivの場合の考え方
たとえば「5試合目で決まる」場合を 5Ｃ4*(1/2)5*2としてはいけません。
単純に「勝」「負」を並べてしまう計算をすると、
「勝勝勝勝負」と5試合の前に終わってしまう場合まで数えてしまいます。
ですので、「1試合前まで」で考えないといけないのです。

期待値が 6よりも少し小さい値なので、
このような試合ではだいたい 6試合ぐらい（4勝2敗で決着）するのが平均だということがわかります。

お礼

ありがとうございます。
Cの前後の数字と理由と、最後の(1/2)*2の理由はわかりました＼(^o^)／
ただ、(1)なら(1/2)^3*(1/2)^3とかの所の理由がいまひとつ分かりません。。

お願いしますm(__)m